Номер 8.13, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.13, страница 26.

8.13 Хорда $AB$ образует с диаметром $AC$ окружности угол $\alpha^{\circ}$. Найдите длину хорды $AB$, если радиус окружности равен $R$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный хордой $AB$ и диаметром $AC$. Все три вершины этого треугольника ($A$, $B$ и $C$) лежат на окружности.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. Согласно свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр (или на дугу в $180^\circ$), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным, где $AC$ — гипотенуза, а $AB$ и $BC$ — катеты.

Длина гипотенузы $AC$ равна диаметру окружности. Так как радиус окружности равен $R$, то диаметр равен $2R$. Таким образом, $AC = 2R$.

По условию задачи, угол между хордой $AB$ и диаметром $AC$ равен $\alpha$, то есть $\angle BAC = \alpha$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ является прилежащим к углу $\alpha$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, он равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Подставив в формулу известные нам обозначения, получим:

$\cos(\alpha) = \frac{AB}{2R}$

Выразим из этого равенства длину хорды $AB$:

$AB = 2R \cos(\alpha)$

Ответ: $2R \cos(\alpha)$