Номер 8.9, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.9, страница 24.

8.9 $ \sin 20^\circ $; $ \sin 110^\circ $; $ \sin 210^\circ $; $ \sin 400^\circ $.

sin 20°

Угол $20°$ является острым углом и находится в первой координатной четверти ($0° < 20° < 90°$). Значение синуса для этого угла положительно. В рамках стандартных школьных задач это выражение не упрощается, поэтому оно остается в своем исходном виде.

Ответ: $\sin 20°$.

sin 110°

Угол $110°$ находится во второй координатной четверти ($90° < 110° < 180°$). Во второй четверти синус имеет положительное значение. Для упрощения воспользуемся формулами приведения. Угол $110°$ можно представить как $90° + 20°$.

Применяем формулу приведения $\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$:

$\sin 110° = \sin(90° + 20°) = \cos 20°$.

Также можно было использовать представление $110° = 180° - 70°$ и формулу $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$, что дало бы $\sin 110° = \sin(180° - 70°) = \sin 70°$. Оба ответа эквивалентны, так как $\cos 20° = \sin 70°$.

Ответ: $\cos 20°$.

sin 210°

Угол $210°$ находится в третьей координатной четверти ($180° < 210° < 270°$). В третьей четверти синус имеет отрицательное значение. Используем формулы приведения. Представим угол $210°$ как $180° + 30°$.

Применяем формулу приведения $\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha$:

$\sin 210° = \sin(180° + 30°) = -\sin 30°$.

Значение $\sin 30°$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin 210° = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

sin 400°

Угол $400°$ больше, чем $360°$. Функция синуса является периодической с периодом $360°$, то есть $\sin(\alpha + 360° \cdot k) = \sin \alpha$ для любого целого $k$.

Мы можем найти эквивалентный угол, вычтя $360°$:

$400° = 360° + 40°$.

Таким образом, $\sin 400° = \sin(360° + 40°) = \sin 40°$.

Угол $40°$ находится в первой четверти, и его синус положителен. Это и есть упрощенное выражение.

Ответ: $\sin 40°$.