Номер 8.8, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.8, страница 24.

8.8 $ \cos 40^\circ; \quad \cos 80^\circ; \quad \cos 120^\circ; \quad \cos 160^\circ. $

Требуется вычислить значение выражения: $\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos120^\circ \cdot \cos160^\circ$.

Обозначим данное выражение через $P$:

$P = \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos120^\circ \cdot \cos160^\circ$

Для начала найдем значение $\cos120^\circ$. Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$:

$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ$

Поскольку значение $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\cos120^\circ = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$P = \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos160^\circ = -\frac{1}{2} (\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos160^\circ)$

Теперь вычислим произведение $C = \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos160^\circ$.Для этого воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Умножим и разделим выражение $C$ на $8\sin40^\circ$ (так как $\sin40^\circ \ne 0$):

$C = \frac{8\sin40^\circ\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos160^\circ}{8\sin40^\circ}$

Преобразуем числитель, последовательно применяя формулу синуса двойного угла:

$8\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ\cos160^\circ = 4 \cdot (2\sin40^\circ\cos40^\circ) \cdot \cos80^\circ\cos160^\circ$

$= 4 \cdot \sin80^\circ \cdot \cos80^\circ\cos160^\circ = 2 \cdot (2\sin80^\circ\cos80^\circ) \cdot \cos160^\circ$

$= 2 \cdot \sin160^\circ \cdot \cos160^\circ = \sin(2 \cdot 160^\circ) = \sin320^\circ$

Таким образом, выражение для $C$ принимает вид:

$C = \frac{\sin320^\circ}{8\sin40^\circ}$

Теперь упростим $\sin320^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$:

$\sin320^\circ = \sin(360^\circ - 40^\circ) = -\sin40^\circ$

Подставим это в выражение для $C$:

$C = \frac{-\sin40^\circ}{8\sin40^\circ} = -\frac{1}{8}$

Наконец, вернемся к вычислению $P$:

$P = -\frac{1}{2} \cdot C = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$