Номер 8.11, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §8. Тригонометрические функции углового аргумента - номер 8.11, страница 25.

Условие.

8.11 а) рис. 7; б) рис. 8; в) рис. 9; г) рис. 10.

3, $x$, $\alpha$

Рис. 5

1, $x$, $\alpha$

Рис. 6

а) рис. 7;

2, $x$, $30^\circ$

Рис. 7

б) рис. 8;

1, $x$, $45^\circ$

Рис. 8

в) рис. 9;

$x$, 2, $60^\circ$

Рис. 9

г) рис. 10.

2, $x$, $60^\circ$

Рис. 10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) рис. 7;
В данном прямоугольном треугольнике известен катет, противолежащий углу в $30^\circ$, его длина равна 2. Требуется найти гипотенузу $x$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, мы можем записать: $\sin(30^\circ) = \frac{2}{x}$. Зная, что значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{2}{x}$. Отсюда находим $x$: $x = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $x = 4$.

б) рис. 8;
В этом прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $45^\circ$, равен 1. Необходимо найти гипотенузу $x$. Используем определение синуса: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Для данного случая: $\sin(45^\circ) = \frac{1}{x}$. Значение синуса $45^\circ$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим это значение в уравнение: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{x}$. Следовательно, $x = \sqrt{2}$.
Ответ: $x = \sqrt{2}$.

в) рис. 9;
Дан прямоугольный треугольник, в котором катет, прилежащий к углу в $60^\circ$, равен 2. Гипотенуза обозначена как $x$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Запишем соотношение для нашего треугольника: $\cos(60^\circ) = \frac{2}{x}$. Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{2}{x}$. Из этого уравнения находим $x$: $x = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $x = 4$.

г) рис. 10.
В данном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2, а $x$ — это катет, прилежащий к углу $60^\circ$. Воспользуемся определением косинуса: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Применяя к нашему случаю, имеем: $\cos(60^\circ) = \frac{x}{2}$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$. Отсюда следует, что $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.