Номер 8.16, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.16, страница 26.

8.16 Высота треугольника составляет 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, в котором к основанию $AC$ проведена высота $BH$. По условию задачи, $h = BH = 5$ см. Углы, прилежащие к основанию, это $\angle A = 60^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Основание $AC$ равно сумме отрезков $AH$ и $HC$. Найдем длины этих отрезков.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$

В этом треугольнике $\angle H = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$ и катет $BH = 5$ см. Нам нужно найти второй катет $AH$. Связь между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan A = \frac{BH}{AH}$

Выразим отсюда $AH$:

$AH = \frac{BH}{\tan A} = \frac{5}{\tan 60^\circ}$

Зная, что $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, получаем:

$AH = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBH$

В этом треугольнике $\angle H = 90^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ и катет $BH = 5$ см. Найдем катет $HC$:

$\tan C = \frac{BH}{HC}$

Выразим отсюда $HC$:

$HC = \frac{BH}{\tan C} = \frac{5}{\tan 45^\circ}$

Зная, что $\tan 45^\circ = 1$, получаем:

$HC = \frac{5}{1} = 5$ см.

3. Найдем длину основания $AC$ и площадь треугольника

Теперь мы можем найти длину всего основания $AC$, сложив длины отрезков $AH$ и $HC$:

$a = AC = AH + HC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5$ см.

Подставим значения основания $a$ и высоты $h$ в формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5) \cdot 5$

$S = \frac{5}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5) = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$S = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25 \cdot 3}{6} = \frac{25\sqrt{3} + 75}{6}$

Вынесем общий множитель 25 за скобки в числителе для более красивой записи:

$S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см$^2$.