Номер 9.4, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.4, страница 26.

9.4 a) $tg\left(\frac{\pi}{2} - t\right);$

б) $ctg(180^\circ - \alpha);$

в) $tg\left(\frac{3\pi}{2} + t\right);$

г) $ctg(360^\circ - \alpha).$

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов. Шаг 1: Определение знака. Мысленно помещаем угол в соответствующую четверть тригонометрического круга (считая, что острый угол, например $t$ или $\alpha$, мал и положителен) и определяем знак исходной функции в этой четверти. Шаг 2: Определение итоговой функции. Если в формуле присутствуют углы $\frac{\pi}{2}$ (90°) или $\frac{3\pi}{2}$ (270°), то есть "вертикальные" углы, функция меняется на кофункцию ($\text{tg}$ на $\text{ctg}$, $\sin$ на $\cos$, и наоборот). Если же в формуле углы $\pi$ (180°) или $2\pi$ (360°), то есть "горизонтальные" углы, то название функции не меняется.

а) Необходимо упростить выражение $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t)$.

1. Определяем знак. Считая $t$ острым углом из первой четверти, угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ также находится в первой четверти. Тангенс в первой четверти имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $\frac{\pi}{2}$, функция тангенс ($\text{tg}$) меняется на кофункцию, то есть на котангенс ($\text{ctg}$).

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \text{ctg}(t)$.

Ответ: $\text{ctg}(t)$

б) Необходимо упростить выражение $\text{ctg}(180^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Считая $\alpha$ острым углом из первой четверти, угол $(180^\circ - \alpha)$ находится во второй четверти. Котангенс во второй четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$, функция котангенс ($\text{ctg}$) не меняется.

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

в) Необходимо упростить выражение $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t)$.

1. Определяем знак. Считая $t$ острым углом из первой четверти, угол $(\frac{3\pi}{2} + t)$ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$, функция тангенс ($\text{tg}$) меняется на кофункцию, то есть на котангенс ($\text{ctg}$).

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg}(t)$.

Ответ: $-\text{ctg}(t)$

г) Необходимо упростить выражение $\text{ctg}(360^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Считая $\alpha$ острым углом из первой четверти, угол $(360^\circ - \alpha)$ находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$, функция котангенс ($\text{ctg}$) не меняется.

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$