Номер 9.11, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.11, страница 27.

9.11 Докажите тождество:

a) $\frac{\text{tg}(\pi - t)}{\cos(\pi + t)} \cdot \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}{\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \text{tg}^2 t;$

б) $\frac{\sin(\pi - t)}{\text{tg}(\pi + t)} \cdot \frac{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + t\right)} \cdot \frac{\cos(2\pi - t)}{\sin(-t)} = \sin t.$

а) Докажем тождество: $ \frac{\tg(\pi - t)}{\cos(\pi + t)} \cdot \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + t)}{\tg(\frac{3\pi}{2} + t)} = \tg^2 t $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения. Вспомним, как меняются знаки тригонометрических функций по четвертям и как меняется сама функция при переходе через углы $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $.

1. $ \tg(\pi - t) = -\tg t $, так как угол $ (\pi - t) $ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а прибавление/вычитание $ \pi $ не меняет функцию.

2. $ \cos(\pi + t) = -\cos t $, так как угол $ (\pi + t) $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, а прибавление/вычитание $ \pi $ не меняет функцию.

3. $ \sin(\frac{3\pi}{2} + t) = -\cos t $, так как угол $ (\frac{3\pi}{2} + t) $ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а прибавление/вычитание $ \frac{3\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию (синус на косинус).

4. $ \tg(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg} t $, так как угол $ (\frac{3\pi}{2} + t) $ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен, а прибавление/вычитание $ \frac{3\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию (тангенс на котангенс).

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$ \frac{-\tg t}{-\cos t} \cdot \frac{-\cos t}{-\text{ctg} t} $

Упростим полученное выражение. Минусы в каждой дроби сокращаются:

$ \frac{\tg t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\text{ctg} t} $

Сократим $ \cos t $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\tg t}{\text{ctg} t} $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{ctg} t = \frac{1}{\tg t} $:

$ \frac{\tg t}{\frac{1}{\tg t}} = \tg t \cdot \tg t = \tg^2 t $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части: $ \tg^2 t = \tg^2 t $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество: $ \frac{\sin(\pi - t)}{\tg(\pi + t)} \cdot \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - t)}{\tg(\frac{\pi}{2} + t)} \cdot \frac{\cos(2\pi - t)}{\sin(-t)} = \sin t $.

Преобразуем левую часть равенства, последовательно упрощая каждый множитель с помощью формул приведения и свойств четности/нечетности функций.

1. $ \sin(\pi - t) = \sin t $ (угол во второй четверти, синус положителен, функция не меняется).

2. $ \tg(\pi + t) = \tg t $ (угол в третьей четверти, тангенс положителен, функция не меняется, так как период тангенса равен $ \pi $).

3. $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - t) = \tg t $ (угол в первой четверти, все функции положительны, $ \frac{\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию).

4. $ \tg(\frac{\pi}{2} + t) = -\text{ctg} t $ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен, $ \frac{\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию).

5. $ \cos(2\pi - t) = \cos t $ (угол в четвертой четверти, косинус положителен, функция не меняется, так как период косинуса равен $ 2\pi $).

6. $ \sin(-t) = -\sin t $ (синус является нечетной функцией).

Подставим все упрощенные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{\sin t}{\tg t} \cdot \frac{\tg t}{-\text{ctg} t} \cdot \frac{\cos t}{-\sin t} $

Проведем сокращения. Можно сократить $ \tg t $. Произведение двух отрицательных знаменателей дает положительный результат:

$ \frac{\sin t}{1} \cdot \frac{1}{\text{ctg} t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} $

Теперь сократим $ \sin t $:

$ \frac{1}{\text{ctg} t} \cdot \cos t $

Используем определение котангенса $ \text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Тогда $ \frac{1}{\text{ctg} t} = \frac{\sin t}{\cos t} $:

$ \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos t $

Сократив $ \cos t $, получаем:

$ \sin t $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части: $ \sin t = \sin t $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.