Номер 8.14, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.14, страница 26.

8.14 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. ($S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$)

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку четырёхугольник является выпуклым, точка пересечения диагоналей лежит внутри него.

Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$.

Диагонали разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

Рассмотрим углы, образованные при пересечении диагоналей в точке $O$:

• $\angle AOB = \alpha$
• $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle AOB$)
• $\angle COD = \alpha$ (как вертикальный к $\angle AOB$)
• $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$ (как вертикальный к $\angle BOC$)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, найдём площади каждого из четырёх треугольников:

• $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим эти площади, чтобы найти общую площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители: $AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO = BO(AO + CO) + DO(CO + AO) = (AO + CO)(BO + DO)$

Так как $AO + CO = AC = d_1$ и $BO + DO = BD = d_2$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение: $(AO + CO)(BO + DO) = AC \cdot BD = d_1 d_2$.

Таким образом, подставляя результат обратно в формулу для площади, получаем: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь выпуклого четырёхугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. Утверждение доказано.