Номер 10.17, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.17, страница 31.

10.17 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-2), f(0), f(1);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) прочитайте график функции $y = f(x).$

а) Вычислите: f(-2), f(0), f(1);

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi \end{cases}$

1. Для вычисления $f(-2)$ необходимо выбрать ту часть формулы, условие для которой выполняется при $x = -2$. Так как $-2 < 0$, используем первую ветвь функции:

$f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5$

2. Для вычисления $f(0)$ аргумент $x=0$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$ второй ветви функции:

$f(0) = \sin(0) = 0$

3. Для вычисления $f(1)$ аргумент $x=1$ также удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$ (поскольку $\pi \approx 3.14$), поэтому снова используем вторую ветвь:

$f(1) = \sin(1)$

Ответ: $f(-2) = -0.5$; $f(0) = 0$; $f(1) = \sin(1)$.

б) постройте график функции y = f(x);

График данной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ это график функции $y = \frac{1}{x}$. Он представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в третьей координатной четверти. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

2. На отрезке $[0, \pi]$ это график функции $y = \sin x$. Он представляет собой одну "арку" синусоиды, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивается в точке $(\pi, 0)$. Концевые точки отрезка, $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$, включены в график.

Итоговый график функции $y = f(x)$ показан на рисунке ниже.

Ответ: График функции, состоящий из ветви гиперболы и арки синусоиды, представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

Основные свойства функции $y = f(x)$, установленные на основе ее графика и определения:

• Область определения $D(f)$: Объединение промежутков $(-\infty, 0)$ и $[0, \pi]$, что дает $(-\infty, \pi]$.
• Множество значений $E(f)$: Объединение множеств $(-\infty, 0)$ (для гиперболы) и $[0, 1]$ (для синуса), что дает $(-\infty, 0) \cup [0, 1]$.
• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $f(x)=0$ при $x=0$ и $x=\pi$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ (функция положительна) на интервале $(0, \pi)$.
  • $f(x) < 0$ (функция отрицательна) на интервале $(-\infty, 0)$.
• Монотонность функции:
  • Функция возрастает на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.
  • Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.
• Экстремумы функции:
  • $x_{max} = \frac{\pi}{2}$ — точка глобального максимума, $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
  • $x=0$ и $x=\pi$ — точки локального минимума, $f(0)=0$ и $f(\pi)=0$.
  • Глобального минимума функция не имеет, так как она не ограничена снизу ($\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty$).
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.
• Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения $(-\infty, \pi]$ несимметрична относительно начала координат.

Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность и четность) детально описаны выше.