Номер 10.18, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.18, страница 31.

10.18 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x + 2\pi, \text{ если } x \le -\pi, \\ \sin x, \text{ если } -\pi < x \le 0, \\ -2x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-\pi - 2)$, $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $f(2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: f(-π - 2), f(-π/6), f(2);

Для вычисления значений функции необходимо определить, какому из трех интервалов, на которых задана функция, принадлежит аргумент.

1. Вычислим $f(-\pi - 2)$.
   Поскольку $\pi \approx 3,14$, то $-\pi - 2 \approx -3,14 - 2 = -5,14$.
   Это значение удовлетворяет условию $x \le -\pi$, так как $-5,14 \le -3,14$.
   Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x + 2\pi$.
   $f(-\pi - 2) = 2(-\pi - 2) + 2\pi = -2\pi - 4 + 2\pi = -4$.

2. Вычислим $f(-\frac{\pi}{6})$.
   Значение аргумента $x = -\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $-\pi < x \le 0$.
   Следовательно, используем формулу $f(x) = \sin x$.
   $f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

3. Вычислим $f(2)$.
   Значение аргумента $x = 2$ удовлетворяет условию $x > 0$.
   Следовательно, используем формулу $f(x) = -2x$.
   $f(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: $f(-\pi - 2) = -4$; $f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$; $f(2) = -4$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из трех частей, соответствующих трем интервалам определения:

• На промежутке $(-\infty, -\pi]$ строим график функции $y = 2x + 2\pi$. Это луч, проходящий через точки $(-2\pi, -2\pi)$ и $(-\pi, 0)$. Конечная точка луча $(-\pi, 0)$ включена.

• На промежутке $(-\pi, 0]$ строим график функции $y = \sin x$. Это часть синусоиды, которая начинается в точке $(-\pi, 0)$ (точка выколота, но совпадает с конечной точкой предыдущего луча), проходит через точку минимума $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ и заканчивается в точке $(0, 0)$ (точка включена).

• На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = -2x$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ (точка выколота, но совпадает с конечной точкой предыдущей части графика) и проходящий через точку $(1, -2)$.

Поскольку значения функции в точках "стыка" $x=-\pi$ и $x=0$ совпадают, график является непрерывной линией.

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

Свойства функции $y=f(x)$, определенные по ее графику:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел $x$.

• Область значений: $E(f) = (-\infty; 0]$. Максимальное значение функции равно 0, а снизу функция не ограничена.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0$ при $x = -\pi$ и $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\pi) \cup (-\pi, 0) \cup (0, +\infty)$.
  $f(x) > 0$ — таких промежутков нет.

• Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\pi]$ и $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.
  Функция убывает на промежутках $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и $[0, +\infty)$.

• Точки экстремума:
  $x_{max1} = -\pi$ — точка локального максимума, $f(-\pi) = 0$.
  $x_{max2} = 0$ — точка локального максимума, $f(0) = 0$.
  $x_{min} = -\frac{\pi}{2}$ — точка локального минимума, $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.