Номер 11.13, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.13, страница 34.

11.13 Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = -x^2 + 2x - 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = \frac{2}{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = x^2 - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \cos x, \\ |x| - y = 0? \end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы, необходимо найти количество точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = -x^2 + 2x - 3$. Для этого сравним области значений данных функций.

1. Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Функция $y = -x^2 + 2x - 3$ — это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем вершину этой параболы, чтобы определить ее максимальное значение.Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.Максимальное значение функции (координата вершины по оси ординат): $y_v = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.Таким образом, область значений функции $y = -x^2 + 2x - 3$ — это промежуток $(-\infty, -2]$.

Для существования решения системы необходимо, чтобы области значений функций пересекались. Однако, пересечение множеств $[-1, 1]$ и $(-\infty, -2]$ является пустым множеством. Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

б) Требуется найти количество решений системы уравнений $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$. Количество решений равно количеству точек пересечения графиков этих функций, что эквивалентно количеству корней уравнения $\cos x = \frac{2}{x}$.

Рассмотрим поведение графиков функций $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$.

1. График $y = \cos x$ — это периодическая функция (косинусоида), значения которой колеблются в пределах от -1 до 1.

2. График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. При $x \to +\infty$ значения $y$ стремятся к 0, оставаясь положительными. При $x \to -\infty$ значения $y$ стремятся к 0, оставаясь отрицательными.

Рассмотрим случай $x > 0$. График $y = \frac{2}{x}$ — это плавно убывающая кривая в первой четверти. График $y = \cos x$ бесконечно колеблется. Для достаточно больших $x$ (например, $x > 2$), значения $\frac{2}{x}$ будут находиться в интервале $(0, 1)$. В то же время, функция $\cos x$ будет бесконечное число раз принимать все значения из этого интервала. Каждый раз, когда график косинуса поднимается к своему пику ($y=1$) или опускается к своему минимуму ($y=-1$), он пересекает медленно убывающий график гиперболы. Это приводит к бесконечному числу точек пересечения при $x > 0$.

Рассмотрим случай $x < 0$. Уравнение остается тем же: $\cos x = \frac{2}{x}$. Поскольку $x < 0$, правая часть уравнения отрицательна. Значит, пересечения возможны только тогда, когда $\cos x < 0$. При $x \to -\infty$, значения $\frac{2}{x}$ стремятся к 0 с отрицательной стороны. Функция $\cos x$ по-прежнему бесконечно колеблется и бесконечное число раз принимает отрицательные значения. По аналогии со случаем $x>0$, здесь также будет бесконечное число пересечений.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) Необходимо найти количество решений системы $y = \cos x$ и $y = x^2 - 3$. Это равносильно нахождению количества корней уравнения $\cos x = x^2 - 3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - x^2 + 3$. Нам нужно найти количество нулей этой функции.Функция $f(x)$ является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 + 3 = \cos x - x^2 + 3 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно найти количество положительных корней, и тогда количество отрицательных корней будет таким же. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $f(0) = \cos 0 - 0 + 3 = 4 \neq 0$.

Рассмотрим $x > 0$. Пересечение возможно, только если значения обеих функций лежат в отрезке $[-1, 1]$ (поскольку это область значений косинуса). Для параболы $y = x^2 - 3$ это условие дает: $-1 \le x^2 - 3 \le 1$, что равносильно $2 \le x^2 \le 4$. Для $x>0$ это означает $\sqrt{2} \le x \le 2$. Таким образом, все положительные решения должны находиться в этом отрезке.

Проверим значения функции $f(x)$ на концах отрезка $[\sqrt{2}, 2]$:$f(\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})^2 + 3 = \cos(\sqrt{2}) + 1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 < \frac{\pi}{2}$, $\cos(\sqrt{2}) > 0$, следовательно $f(\sqrt{2}) > 1$.$f(2) = \cos(2) - 2^2 + 3 = \cos(2) - 1$. Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, $\cos(2) < 0$, следовательно $f(2) < -1$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[\sqrt{2}, 2]$ принимает значения разных знаков, внутри этого отрезка существует по крайней мере один корень.

Найдем производную: $f'(x) = -\sin x - 2x$. Для $x > 0$ (в частности на интервале $(\sqrt{2}, 2)$), $\sin x > 0$, поэтому $-\sin x < 0$, и $-2x < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ для всех $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей при $x > 0$.Строго убывающая функция может пересечь ось абсцисс не более одного раза. Следовательно, существует ровно один положительный корень.

Так как функция четная, существует также ровно один отрицательный корень, симметричный положительному. В итоге получаем два решения.

Ответ: 2 решения.

г) Дана система уравнений $y = \cos x$ и $|x| - y = 0$. Второе уравнение можно переписать в виде $y = |x|$. Таким образом, нам нужно найти количество решений уравнения $\cos x = |x|$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - |x|$. Нам нужно найти количество ее нулей.Эта функция является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - |-x| = \cos x - |x| = f(x)$. График функции симметричен относительно оси OY. Найдем количество решений для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $\cos x = x$.Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = \cos x - x$ для $x \ge 0$.$g(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$.$g(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} < 0$.Так как $g(x)$ непрерывна и принимает значения разных знаков на концах отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$, на этом интервале есть по крайней мере один корень.

Найдем производную: $g'(x) = -\sin x - 1$.Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \le -\sin x \le 1$. Следовательно, $g'(x) = -\sin x - 1 \le 1 - 1 = 0$.Производная $g'(x)$ равна нулю только в точках, где $\sin x = -1$ (например, $x = \frac{3\pi}{2}$), а в остальных точках $g'(x) < 0$. Это означает, что функция $g(x)$ строго убывает на всей области определения $x \ge 0$.Строго убывающая функция может пересекать ось абсцисс только один раз. Следовательно, уравнение $\cos x = x$ имеет ровно одно решение при $x > 0$.

Поскольку исходная функция $f(x)$ четная, то кроме найденного положительного корня $x_0$ существует также и симметричный ему отрицательный корень $-x_0$. Корень $x=0$ не является решением, так как $\cos 0 \neq 0$.Итого, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.