Номер 12.3, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.3, страница 35.

12.3 Постройте график периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 4$, если известно, что $f(x) = \frac{x^2}{2}$ на отрезке $[-2; 2]$.

По условию задачи, нам нужно построить график периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 4$. На отрезке $[-2; 2]$ функция задана формулой $f(x) = \frac{x^2}{2}$.

Шаг 1. Построение графика на основном отрезке $[-2; 2]$.

Сначала построим график функции $y = \frac{x^2}{2}$ на указанном отрезке. Этот график является частью параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат. Для построения найдем значения функции в нескольких ключевых точках этого отрезка. При $x = 0$ имеем $y = \frac{0^2}{2} = 0$. Это вершина параболы, точка $(0, 0)$. На концах отрезка: при $x = -2$ имеем $y = \frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$, точка $(-2, 2)$. При $x = 2$ имеем $y = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$, точка $(2, 2)$. Также можно найти промежуточные точки для большей точности, например, при $x = \pm 1$, $y = \frac{(\pm 1)^2}{2} = 0.5$. Соединив эти точки плавной кривой, мы получим фрагмент параболы на отрезке $[-2; 2]$. Заметим, что длина этого отрезка $2 - (-2) = 4$, что в точности равно периоду функции $T$.

Шаг 2. Распространение графика на всю числовую ось с использованием периодичности.

Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$, то есть $f(x+4) = f(x)$. Чтобы получить полный график функции, необходимо повторить (продублировать) построенный на отрезке $[-2; 2]$ фрагмент на всю числовую ось. Это делается с помощью параллельных переносов этого фрагмента вдоль оси $Ox$ на $4k$ единиц, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, чтобы построить график на отрезке $[2; 6]$, мы сдвигаем основной фрагмент на 4 единицы вправо. Вершина параболы при этом переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0+4, 0) = (4, 0)$. Концы фрагмента будут в точках $(2, 2)$ и $(6, 2)$. Аналогично, для отрезка $[-6; -2]$ мы сдвигаем основной фрагмент на 4 единицы влево. Вершина параболы переместится в точку $(0-4, 0) = (-4, 0)$. Поскольку значения функции на концах основного отрезка совпадают ($f(-2) = f(2) = 2$), фрагменты графика будут плавно соединяться друг с другом в точках $x = \dots, -6, -2, 2, 6, 10, \dots$.

Ответ: Искомый график представляет собой бесконечную последовательность состыкованных друг с другом сегментов параболы. Один такой сегмент задан функцией $y = \frac{x^2}{2}$ на отрезке $[-2; 2]$. Он имеет вершину в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Этот сегмент повторяется вдоль всей оси $Ox$ с периодом 4. Таким образом, вершины параболических сегментов находятся в точках с координатами $(4k, 0)$, а точки соединения сегментов — в точках $(2+4k, 2)$ для всех целых $k$.