Номер 11.17, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §11. Функция у = cos х, её свойства и график - номер 11.17, страница 34.

Условие.

11.17 а) Дано: $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$. Докажите, что $-f(\cos x) = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

б) Дано: $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Докажите, что $f(\cos x) = 9 + \cos x - 5\sin^2 x$.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, $-f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

1. Сначала найдём выражение для $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(\cos x) = 2(\cos x)^2 - 3(\cos x) - 2 = 2\cos^2 x - 3\cos x - 2$.

2. Далее найдём выражение для $-f(\cos x)$, умножив полученное выражение на $-1$:

$-f(\cos x) = -(2\cos^2 x - 3\cos x - 2) = -2\cos^2 x + 3\cos x + 2$.

3. Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в наше выражение:

$-f(\cos x) = -2(1 - \sin^2 x) + 3\cos x + 2$.

4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$-f(\cos x) = -2 + 2\sin^2 x + 3\cos x + 2 = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части доказываемого тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, $f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 5x^2 + x + 4$.

1. Найдём выражение для $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(\cos x) = 5(\cos x)^2 + \cos x + 4 = 5\cos^2 x + \cos x + 4$.

2. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и подставим его в полученное выражение:

$f(\cos x) = 5(1 - \sin^2 x) + \cos x + 4$.

3. Раскроем скобки и упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$f(\cos x) = 5 - 5\sin^2 x + \cos x + 4 = (5+4) + \cos x - 5\sin^2 x = 9 + \cos x - 5\sin^2 x$.

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части доказываемого тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.