Номер 12.4, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.4, страница 35.

12.4 Постройте график периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 2$, если известно, что $f(x) = x^4$ на отрезке $[-1; 1]$.

Для построения графика периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 2$, заданной на отрезке $[-1; 1]$ формулой $f(x) = x^4$, выполним следующие шаги.

Шаг 1. Построение графика на основном отрезке

Сначала построим график функции $y = x^4$ на отрезке $[-1; 1]$. Этот фрагмент будет являться "шаблоном", который будет периодически повторяться.

Исследуем функцию $y = x^4$ на данном отрезке:

• Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. Это означает, что ее график на этом отрезке симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
• Найдем значения функции в нескольких ключевых точках отрезка $[-1; 1]$:
  • При $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$. Координаты точки: $(-1; 1)$.
  • При $x = 0$, $y = 0^4 = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$. Это точка минимума на отрезке.
  • При $x = 1$, $y = 1^4 = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.
• График на отрезке $[-1; 1]$ представляет собой кривую, которая начинается в точке $(-1; 1)$, плавно спускается к началу координат $(0; 0)$, касаясь в этой точке оси абсцисс, а затем симметрично поднимается до точки $(1; 1)$. Внешне эта кривая напоминает параболу $y=x^2$, но она более "плоская" вблизи точки $(0;0)$ и растет быстрее при приближении $x$ к $1$ и $-1$.

Шаг 2. Использование свойства периодичности для построения полного графика

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 2$. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 2) = f(x)$.

Длина основного отрезка $[-1; 1]$ равна $1 - (-1) = 2$, что в точности совпадает с периодом функции. Это значит, что для построения всего графика нам нужно просто повторить (скопировать) фрагмент, построенный на шаге 1, сдвигая его вдоль оси $Ox$ на целое число периодов, то есть на $2k$ единиц, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

• Например, чтобы получить график на отрезке $[1; 3]$, мы сдвигаем основной фрагмент на $T=2$ единицы вправо. Уравнение кривой на этом отрезке будет $y = (x-2)^4$.
• Чтобы получить график на отрезке $[-3; -1]$, мы сдвигаем основной фрагмент на $T=2$ единицы влево. Уравнение кривой на этом отрезке будет $y = (x+2)^4$.

Так как значения функции на концах основного отрезка совпадают ($f(-1) = 1$ и $f(1) = 1$), то при "стыковке" фрагментов разрывов не будет. Функция будет непрерывной на всей числовой прямой.

Шаг 3. Описание итогового графика

Итоговый график функции $y = f(x)$ представляет собой бесконечную последовательность одинаковых кривых, расположенных вплотную друг к другу.

• Минимумы функции (значения, равные 0) достигаются в точках с четными абсциссами: $x = \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots$ (то есть в точках вида $x=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$).
• Максимальные значения на каждом "холме" (равные 1) достигаются в точках с нечетными абсциссами: $x = \dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots$ (то есть в точках вида $x=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, график представляет собой волнообразную линию, которая периодически касается оси абсцисс и поднимается до высоты $y=1$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ строится следующим образом: сначала на отрезке $[-1; 1]$ строится график функции $y=x^4$. Полученный фрагмент — это кривая, проходящая через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$, симметричная относительно оси $Oy$. Затем этот фрагмент графика параллельно переносится вдоль оси $Ox$ на $2k$ единиц вправо и влево для всех целых $k$. В результате получается непрерывная периодическая кривая.