Номер 12.10, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.10, страница 36.

12.10 Докажите, что данное число $T$ является периодом заданной функции:

а) $y = \sin 2x, T = \pi;$

б) $y = \cos 3x, T = \frac{2\pi}{3};$

в) $y = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

г) $y = \cos \frac{3x}{4}, T = \frac{8\pi}{3}.$

Для доказательства того, что число $T$ является периодом для заданной функции $y(x)$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$. Область определения всех заданных тригонометрических функций — это множество всех действительных чисел, поэтому это условие можно проверять для любого $x$.

а) $y = \sin 2x, T = \pi$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \sin(2(x+\pi)) = \sin(2x + 2\pi)$.

Поскольку $2\pi$ является периодом функции синус, $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ для любого $\alpha$. Следовательно:

$\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = y(x)$.

Равенство $y(x+\pi) = y(x)$ выполняется, значит $T=\pi$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos 3x, T = \frac{2\pi}{3}$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \cos(3(x+\frac{2\pi}{3})) = \cos(3x + 3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(3x + 2\pi)$.

Поскольку $2\pi$ является периодом функции косинус, $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha$ для любого $\alpha$. Следовательно:

$\cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = y(x)$.

Равенство $y(x+\frac{2\pi}{3}) = y(x)$ выполняется, значит $T=\frac{2\pi}{3}$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $y = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \sin(\frac{x+4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + 2\pi)$.

Используя свойство периодичности функции синус:

$\sin(\frac{x}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{x}{2}) = y(x)$.

Равенство $y(x+4\pi) = y(x)$ выполняется, значит $T=4\pi$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $y = \cos \frac{3x}{4}, T = \frac{8\pi}{3}$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \cos(\frac{3}{4}(x+\frac{8\pi}{3})) = \cos(\frac{3x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{8\pi}{3}) = \cos(\frac{3x}{4} + 2\pi)$.

Используя свойство периодичности функции косинус:

$\cos(\frac{3x}{4} + 2\pi) = \cos(\frac{3x}{4}) = y(x)$.

Равенство $y(x+\frac{8\pi}{3}) = y(x)$ выполняется, значит $T=\frac{8\pi}{3}$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.