Номер 13.1, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.1, страница 37.

Постройте график функции:

13.1 a) $y = 2\sin x;$

б) $y = -\cos x;$

в) $y = -\sin x;$

г) $y = 3\cos x.$

а) $y = 2\sin x$;

Для построения графика функции $y = 2\sin x$ мы используем метод преобразования графика базовой функции $y = \sin x$. Общий вид преобразования – $y = A \cdot f(x)$.

В данном случае $f(x) = \sin x$, а коэффициент $A = 2$. Поскольку $|A| > 1$, данное преобразование является растяжением графика вдоль оси ординат ($Oy$) в $A$ раз.

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая имеет период $T=2\pi$ и область значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Применяем преобразование растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$, соответствующая ей точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) остаются на месте, так как их ордината равна 0, и $0 \cdot 2 = 0$. Точки экстремумов изменяют свои ординаты:
- Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, 1 \cdot 2) = (\frac{\pi}{2}, 2)$.
- Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в точку $(\frac{3\pi}{2}, -1 \cdot 2) = (\frac{3\pi}{2}, -2)$.

4. Соединяем полученные точки плавной линией, сохраняя форму синусоиды. Новый график $y = 2\sin x$ также будет периодическим с периодом $T=2\pi$, но его амплитуда увеличится до 2, а область значений станет $E(y) = [-2, 2]$.

Ответ: График функции $y = 2\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$).

б) $y = -\cos x$;

Для построения графика функции $y = -\cos x$ мы будем преобразовывать график базовой функции $y = \cos x$. Данная функция имеет вид $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \cos x$ и $A = -1$.

Поскольку $A = -1$, преобразование заключается в симметричном отражении графика $y = \cos x$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Применяем преобразование отражения относительно оси $Ox$. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos x$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции остаются на месте. Точки экстремумов меняются знаками:
- Точка максимума $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, -1)$, которая станет точкой минимума.
- Точка минимума $(\pi, -1)$ перейдет в точку $(\pi, -(-1)) = (\pi, 1)$, которая станет точкой максимума.

4. Соединяем полученные точки плавной кривой. Новый график $y = -\cos x$ будет иметь тот же период $T=2\pi$ и ту же область значений $E(y) = [-1, 1]$, что и $y = \cos x$, но будет "перевернут" относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).

в) $y = -\sin x$;

Для построения графика функции $y = -\sin x$ мы преобразуем график базовой функции $y = \sin x$. Функция имеет вид $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \sin x$ и коэффициент $A = -1$.

Преобразование при $A = -1$ заключается в симметричном отражении исходного графика относительно оси абсцисс ($Ox$).

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$ (синусоиду) с периодом $T=2\pi$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Отражаем этот график симметрично относительно оси $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$ перейдет в точку $(x_0, -y_0)$ на графике $y = -\sin x$.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции остаются на месте. Точки экстремумов меняют знак:
- Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, -1)$, которая станет точкой минимума.
- Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в точку $(\frac{3\pi}{2}, -(-1)) = (\frac{3\pi}{2}, 1)$, которая станет точкой максимума.

4. Соединяем новые точки плавной кривой. Полученный график $y = -\sin x$ — это синусоида, отраженная относительно оси $Ox$. Период $T=2\pi$ и область значений $E(y) = [-1, 1]$ сохраняются.

Ответ: График функции $y = -\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).

г) $y = 3\cos x$.

Для построения графика функции $y = 3\cos x$ мы используем преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Это функция вида $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \cos x$ и $A = 3$.

Поскольку $A = 3 > 1$, преобразование представляет собой растяжение графика $y = \cos x$ вдоль оси ординат ($Oy$) в 3 раза.

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Применяем преобразование растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos x$ перейдет в точку $(x_0, 3y_0)$ на новом графике.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции остаются на месте. Ординаты экстремумов умножаются на 3:
- Точка максимума $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, 1 \cdot 3) = (0, 3)$.
- Точка минимума $(\pi, -1)$ перейдет в точку $(\pi, -1 \cdot 3) = (\pi, -3)$.

4. Соединяем полученные точки плавной кривой, сохраняя форму косинусоиды. Новый график $y = 3\cos x$ будет периодическим с тем же периодом $T=2\pi$, но его амплитуда увеличится до 3, а область значений станет $E(y) = [-3, 3]$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат ($Oy$).