Номер 13.7, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.7, страница 37.

Постройте график функции:

13.7 а) $y = 2 \sin x - 1$;

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$;

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$;

г) $y = 3 \cos x - 2$.

а)

Для построения графика функции $y = 2 \sin x - 1$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \sin x$.
1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ее область значений $[-1, 1]$.
2. Растянем полученный график в 2 раза вдоль оси ординат (оси OY). Получим график функции $y_1 = 2 \sin x$. Амплитуда колебаний станет равна 2, а область значений изменится на $[-2, 2]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 2 \sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Это даст нам искомый график функции $y = 2 \sin x - 1$.

В результате этих преобразований мы получим синусоиду, которая колеблется относительно прямой $y=-1$.
Период функции не изменился и равен $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [2 \cdot (-1) - 1, 2 \cdot 1 - 1] = [-3, 1]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, -1)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$ (точка максимума), $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, -3)$ (точка минимума), $(2\pi, -1)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin x - 1$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза от оси абсцисс и последующего сдвига на 1 единицу вниз.

б)

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \cos x$.
1. Построим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Преобразуем его в график $y_1 = -\frac{1}{2} \cos x$. Это преобразование включает два действия: сжатие графика $y = \cos x$ в 2 раза вдоль оси OY, что уменьшает амплитуду до $\frac{1}{2}$, и отражение графика относительно оси абсцисс (оси OX) из-за знака «минус». Область значений $y_1$ будет $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
3. Сдвинем график $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Получим искомый график функции $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$.

В результате мы получим косинусоиду, которая колеблется относительно прямой $y=2$.
Период функции остается $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [-\frac{1}{2} + 2, \frac{1}{2} + 2] = [1.5, 2.5]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1.5)$ (точка минимума), $(\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 2.5)$ (точка максимума), $(\frac{3\pi}{2}, 2)$, $(2\pi, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$ получается из графика $y = \cos x$ путем его сжатия в 2 раза к оси абсцисс, отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 2 единицы вверх.

в)

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$ выполним преобразования над графиком $y = \sin x$.
1. Начнем с графика базовой функции $y = \sin x$.
2. Построим график $y_1 = -\frac{3}{2} \sin x$. Для этого растянем график $y = \sin x$ в 1.5 раза ($\frac{3}{2}=1.5$) вдоль оси OY, а затем отразим его относительно оси OX. Амплитуда станет равна $1.5$, а область значений будет $[-1.5, 1.5]$.
3. Сдвинем полученный график $y_1$ на 3 единицы вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$.

Полученная кривая является синусоидой, колеблющейся относительно прямой $y=3$.
Период функции не изменяется: $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [-1.5 + 3, 1.5 + 3] = [1.5, 4.5]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 3)$, $(\frac{\pi}{2}, 1.5)$ (точка минимума), $(\pi, 3)$, $(\frac{3\pi}{2}, 4.5)$ (точка максимума), $(2\pi, 3)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 1.5 раза от оси абсцисс, отражения относительно этой оси и сдвига на 3 единицы вверх.

г)

Для построения графика функции $y = 3 \cos x - 2$ выполним преобразования над графиком $y = \cos x$.
1. Начнем с графика базовой функции $y = \cos x$.
2. Растянем этот график в 3 раза вдоль оси OY. Получим график функции $y_1 = 3 \cos x$. Амплитуда увеличится до 3, а область значений станет $[-3, 3]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 3 \cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Это даст нам искомый график функции $y = 3 \cos x - 2$.

В результате мы получим косинусоиду, которая колеблется относительно прямой $y=-2$.
Период функции остается $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [3 \cdot (-1) - 2, 3 \cdot 1 - 2] = [-5, 1]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$ (точка максимума), $(\frac{\pi}{2}, -2)$, $(\pi, -5)$ (точка минимума), $(\frac{3\pi}{2}, -2)$, $(2\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = 3 \cos x - 2$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 3 раза от оси абсцисс и последующего сдвига на 2 единицы вниз.