Номер 13.11, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.11, страница 38.

13.11 а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

В) $y = -3 \cos 2x$;

Г) $y = 2 \sin \frac{x}{3}$.

а) Для функции $y = 3 \sin \frac{x}{2}$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \sin(kx)$.
Коэффициент (амплитуда) $A = 3$. Область значений функции синус, $\sin(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений $E(y)$ для данной функции будет $[-1 \cdot 3, 1 \cdot 3]$, то есть $E(y) = [-3, 3]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. Основной период для функции $y = A \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-3, 3]$; основной период $T = 4\pi$.

б) Для функции $y = 2,5 \cos 2x$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \cos(kx)$.
Коэффициент (амплитуда) $A = 2,5$. Область значений функции косинус, $\cos(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, область значений $E(y)$ для данной функции будет $[-1 \cdot 2,5, 1 \cdot 2,5]$, то есть $E(y) = [-2,5; 2,5]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Основной период для функции $y = A \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-2,5; 2,5]$; основной период $T = \pi$.

в) Для функции $y = -3 \cos 2x$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \cos(kx)$.
Коэффициент $A = -3$. Амплитуда колебаний равна $|A| = |-3| = 3$. Область значений функции косинус, $\cos(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. При умножении на $-3$ значения функции будут находиться в диапазоне от $-3 \cdot 1 = -3$ до $-3 \cdot (-1) = 3$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3, 3]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Период функции не зависит от знака коэффициента $A$. Он вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-3, 3]$; основной период $T = \pi$.

г) Для функции $y = 2 \sin \frac{x}{3}$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \sin(kx)$.
Коэффициент (амплитуда) $A = 2$. Область значений функции синус, $\sin(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений $E(y)$ для данной функции будет $[-1 \cdot 2, 1 \cdot 2]$, то есть $E(y) = [-2, 2]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$. Основной период для функции $y = A \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-2, 2]$; основной период $T = 6\pi$.