Номер 13.15, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.15, страница 39.

13.15 Известно, что $f(x) = \cos \frac{x}{3}$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $3f(x)$;

в) $f(-3x)$;

г) $f(-x) - f(x)$.

Дана функция $f(x) = \cos\frac{x}{3}$. Найдем требуемые значения.

а) $f(-x)$

Для нахождения $f(-x)$ подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-x) = \cos\frac{-x}{3} = \cos(-\frac{x}{3})$

Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$, получаем:

$f(-x) = \cos\frac{x}{3}$

Ответ: $f(-x) = \cos\frac{x}{3}$.

б) $3f(x)$

Для нахождения $3f(x)$ умножим исходную функцию на 3:

$3f(x) = 3 \cdot \cos\frac{x}{3} = 3\cos\frac{x}{3}$

Ответ: $3f(x) = 3\cos\frac{x}{3}$.

в) $f(-3x)$

Для нахождения $f(-3x)$ подставим $-3x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-3x) = \cos\frac{-3x}{3} = \cos(-x)$

Используя свойство четности функции косинус $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:

$f(-3x) = \cos x$

Ответ: $f(-3x) = \cos x$.

г) $f(-x) - f(x)$

Из пункта а) мы уже нашли, что $f(-x) = \cos\frac{x}{3}$. Исходная функция равна $f(x) = \cos\frac{x}{3}$.

Теперь найдем разность:

$f(-x) - f(x) = \cos\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{3} = 0$

Это также следует из того, что $f(x)$ является четной функцией, а для любой четной функции $g(x)$ справедливо равенство $g(-x) = g(x)$, следовательно, $g(-x) - g(x) = 0$.

Ответ: $f(-x) - f(x) = 0$.