Номер 13.21, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.21, страница 39.

13.21 a) $y = 2 \sin \left(3x - \frac{3\pi}{4}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

a) $y = 2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4})$

Проведем подробное исследование свойств данной тригонометрической функции.

1. Область определения.

Выражение $3x - \frac{3\pi}{4}$ определено для любого действительного числа $x$. Функция синус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения функции $D(y)$ — все действительные числа.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Множество значений.

Функция синус принимает значения в диапазоне от -1 до 1:

$-1 \le \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$2 \cdot (-1) \le 2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) \le 2 \cdot 1$

$-2 \le y \le 2$

Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-2; 2]$.

3. Периодичность.

Функция является периодической. Основной период функции вида $y = A \sin(kx + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=3$.

$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$

Основной период функции равен $\frac{2\pi}{3}$.

4. Нули функции.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$.

$2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = 0$

$\sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = 0$

Это равенство выполняется, когда аргумент синуса является целым кратным $\pi$.

$3x - \frac{3\pi}{4} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Четность и нечетность.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 2 \sin(3(-x) - \frac{3\pi}{4}) = 2 \sin(-3x - \frac{3\pi}{4}) = -2 \sin(3x + \frac{3\pi}{4})$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

6. Экстремумы функции.

Максимальное значение функции равно 2. Оно достигается, когда $\sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = 1$.

$3x - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi + 3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Точки максимума: $x_{max} = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -2. Оно достигается, когда $\sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = -1$.

$3x - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = -\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{-2\pi + 3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = 2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4})$ основные свойства следующие: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [-2; 2]$; основной период $T = \frac{2\pi}{3}$; нули функции при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; максимальное значение $y_{max}=2$ в точках $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; минимальное значение $y_{min}=-2$ в точках $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; функция является функцией общего вида.

б) $y = -3 \cos(2x + \frac{\pi}{3})$

Проведем подробное исследование свойств данной тригонометрической функции.

1. Область определения.

Выражение $2x + \frac{\pi}{3}$ определено для любого действительного числа $x$. Функция косинус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения функции $D(y)$ — все действительные числа.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Множество значений.

Функция косинус принимает значения в диапазоне от -1 до 1:

$-1 \le \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 1$

Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-3) \cdot 1 \le -3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le (-3) \cdot (-1)$

$-3 \le y \le 3$

Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-3; 3]$.

3. Периодичность.

Функция является периодической. Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$.

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Основной период функции равен $\pi$.

4. Нули функции.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$.

$-3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 0$

$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 0$

Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен нечетному кратному $\frac{\pi}{2}$.

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Четность и нечетность.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = -3 \cos(2(-x) + \frac{\pi}{3}) = -3 \cos(-2x + \frac{\pi}{3})$.

Так как косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), то:

$y(-x) = -3 \cos(-(2x - \frac{\pi}{3})) = -3 \cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

6. Экстремумы функции.

Максимальное значение функции равно 3. Из-за отрицательного коэффициента -3 оно достигается, когда $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$.

$2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -3. Оно достигается, когда $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$.

$2x + \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = -3 \cos(2x + \frac{\pi}{3})$ основные свойства следующие: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [-3; 3]$; основной период $T = \pi$; нули функции при $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$; максимальное значение $y_{max}=3$ в точках $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; минимальное значение $y_{min}=-3$ в точках $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; функция является функцией общего вида.