Номер 14.3, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.3, страница 41.

14.3 Решите графически уравнение:

а) $tg x = -\sqrt{3}$;

б) $tg x = 1$;

в) $tg x = -1$;

г) $tg x = 0$.

а)

Для графического решения уравнения $tg x = -\sqrt{3}$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = tg x$ и $y = -\sqrt{3}$.

График функции $y = tg x$ — это тангенсоида, периодическая функция с наименьшим положительным периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = -\sqrt{3}$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0; -\sqrt{3})$ на оси ординат.

Абсциссы точек пересечения этих двух графиков являются решениями исходного уравнения. Из графика видно, что прямая $y = -\sqrt{3}$ пересекает каждую ветвь тангенсоиды ровно в одной точке. Найдем одно из решений. На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ таким решением является $x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

В силу периодичности тангенса, все множество решений описывается формулой, получаемой добавлением к найденному корню целого числа периодов.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Чтобы решить уравнение $tg x = 1$ графически, построим графики функций $y = tg x$ и $y = 1$ в одной системе координат.

График $y = tg x$ — тангенсоида. График $y = 1$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 1)$ на оси ординат и параллельная оси абсцисс.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков. Прямая $y=1$ пересекает каждую ветвь тангенсоиды. Абсцисса точки пересечения, находящейся на главном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, равна $x = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Так как период функции $y = tg x$ равен $\pi$, то все решения уравнения можно найти по формуле, прибавляя к частному решению $n$ периодов.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Графическое решение уравнения $tg x = -1$ заключается в нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций $y = tg x$ и $y = -1$.

Строим тангенсоиду $y = tg x$ и горизонтальную прямую $y = -1$. Прямая проходит через точку $(0; -1)$ на оси ординат.

Прямая $y=-1$ пересекает ветвь тангенсоиды на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ в точке, абсцисса которой равна $x = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), общее решение уравнения записывается в виде:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Для графического решения уравнения $tg x = 0$ построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = 0$.

График функции $y = tg x$ — тангенсоида. График функции $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox).

Решениями уравнения являются абсциссы точек, в которых тангенсоида пересекает ось Ox. Из графика видно, что это происходит в точках $x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \dots$

Все эти точки можно описать одной общей формулой, так как они повторяются с периодом $\pi$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.