Номер 14.7, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.7, страница 42.

Исследуйте функцию $y=f(x)$ на чётность:

14.7 a) $f(x) = \tan x - \cos x;$

б) $f(x) = \tan x + x;$

в) $f(x) = \cot^2 x - x^4;$

г) $f(x) = x^3 - \cot x.$

а) $f(x) = \operatorname{tg} x - \cos x$

1. Область определения функции $D(f)$. Функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения $D(f)$ функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) - \cos(-x)$.

Используя свойства тригонометрических функций, $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ (нечётная функция) и $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция), получаем:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x - \cos x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
Равенство $f(-x) = f(x)$ не выполняется, так как $-\operatorname{tg} x - \cos x \neq \operatorname{tg} x - \cos x$ (это было бы верно только при $\operatorname{tg} x = 0$).
Равенство $f(-x) = -f(x)$ также не выполняется, так как $-\operatorname{tg} x - \cos x \neq -(\operatorname{tg} x - \cos x) = -\operatorname{tg} x + \cos x$ (это было бы верно только при $\cos x = 0$, что невозможно в области определения тангенса).

Поскольку не выполняется ни условие чётности, ни условие нечётности, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$

1. Область определения функции $D(f)$ та же, что и в пункте а), и она симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x)$.

Зная, что $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $(-x) = -x$, получаем:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x - x = -(\operatorname{tg} x + x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$.
$f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x - x^4$

1. Область определения функции $D(f)$. Функция $\operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, область определения $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(-x) - (-x)^4$.

Используя свойства функций, $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, поэтому $\operatorname{ctg}^2(-x) = (-\operatorname{ctg} x)^2 = \operatorname{ctg}^2 x$. Степенная функция $x^4$ является чётной, так как $(-x)^4 = x^4$. Получаем:
$f(-x) = \operatorname{ctg}^2 x - x^4$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
$f(-x) = f(x)$, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

г) $f(x) = x^3 - \operatorname{ctg} x$

1. Область определения функции $D(f)$ та же, что и в пункте в), и она симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = (-x)^3 - \operatorname{ctg}(-x)$.

Зная, что степенная функция $x^3$ нечётная ($(-x)^3 = -x^3$) и котангенс — нечётная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем:
$f(-x) = -x^3 - (-\operatorname{ctg} x) = -x^3 + \operatorname{ctg} x = -(x^3 - \operatorname{ctg} x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$.
$f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.