Номер 14.14, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.14, страница 42.

14.14 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 1$.

Докажите, что $f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Дана функция $f(x) = x^2 + 1$. Необходимо доказать, что $f(\tg x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Для доказательства этого утверждения найдем значение левой части равенства, подставив в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ выражение $\tg x$.

$f(\tg x) = (\tg x)^2 + 1 = \tg^2 x + 1$.

Теперь преобразуем полученное выражение. Вспомним определение тангенса: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Подставим это в наше выражение:

$\tg^2 x + 1 = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Заменим числитель дроби на 1:

$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $f(\tg x)$ равна правой части $\frac{1}{\cos^2 x}$.

$f(\tg x) = \tg^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Равенство доказано.

Ответ: Мы подставили $\tg x$ в функцию $f(x) = x^2 + 1$, получив выражение $\tg^2 x + 1$. Используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы преобразовали $\tg^2 x + 1$ к виду $\frac{1}{\cos^2 x}$, что и требовалось доказать.