Номер 14.11, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.11, страница 42.

14.11 Известно, что $ctg(7\pi - x) = \frac{5}{7}$. Найдите $tg x$, $ctg x$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. В частности, для функции котангенса.

Основное свойство, которое нам понадобится, — это периодичность функции котангенса. Период котангенса равен $ \pi $, что означает $ \text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha) $ для любого целого числа $ k $.

Применим это свойство к выражению $ \text{ctg}(7\pi - x) $. Мы можем представить $ 7\pi $ как $ 6\pi + \pi $:

$ \text{ctg}(7\pi - x) = \text{ctg}(6\pi + \pi - x) $

Поскольку $ 6\pi $ является кратным $ \pi $ (здесь $ k=6 $), мы можем упростить выражение:

$ \text{ctg}(6\pi + \pi - x) = \text{ctg}(\pi - x) $

Далее используем формулу приведения для $ \text{ctg}(\pi - x) $. Аргумент $ (\pi - x) $ соответствует углу во второй координатной четверти (при условии, что $ x $ — острый угол), где значения котангенса отрицательны. Таким образом:

$ \text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x) $

Итак, мы получили тождество: $ \text{ctg}(7\pi - x) = -\text{ctg}(x) $.

ctg x

Согласно условию задачи, $ \text{ctg}(7\pi - x) = \frac{5}{7} $.

Используя выведенное нами тождество, получаем уравнение:

$ -\text{ctg}(x) = \frac{5}{7} $

Чтобы найти $ \text{ctg}(x) $, умножим обе части уравнения на -1:

$ \text{ctg}(x) = -\frac{5}{7} $

Ответ: $ \text{ctg}(x) = -\frac{5}{7} $.

tg x

Тангенс и котангенс — взаимно обратные функции, что выражается формулой $ \text{tg}(x) = \frac{1}{\text{ctg}(x)} $.

Подставим в эту формулу найденное значение $ \text{ctg}(x) $:

$ \text{tg}(x) = \frac{1}{-\frac{5}{7}} $

Вычисляем значение тангенса:

$ \text{tg}(x) = -\frac{7}{5} $

Ответ: $ \text{tg}(x) = -\frac{7}{5} $.