Номер 14.11, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики - номер 14.11, страница 42.

Условие.

14.11 Известно, что $ctg(7\pi - x) = \frac{5}{7}$. Найдите $tg x$, $ctg x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. В частности, для функции котангенса.

Основное свойство, которое нам понадобится, — это периодичность функции котангенса. Период котангенса равен $\pi$, что означает $\text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha)$ для любого целого числа $k$.

Применим это свойство к выражению $\text{ctg}(7\pi - x)$. Мы можем представить $7\pi$ как $6\pi + \pi$:

$\text{ctg}(7\pi - x) = \text{ctg}(6\pi + \pi - x)$

Поскольку $6\pi$ является кратным $\pi$ (здесь $k=6$), мы можем упростить выражение:

$\text{ctg}(6\pi + \pi - x) = \text{ctg}(\pi - x)$

Далее используем формулу приведения для $\text{ctg}(\pi - x)$. Аргумент $(\pi - x)$ соответствует углу во второй координатной четверти (при условии, что $x$ — острый угол), где значения котангенса отрицательны. Таким образом:

$\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$

Итак, мы получили тождество: $\text{ctg}(7\pi - x) = -\text{ctg}(x)$.

ctg x

Согласно условию задачи, $\text{ctg}(7\pi - x) = \frac{5}{7}$.

Используя выведенное нами тождество, получаем уравнение:

$-\text{ctg}(x) = \frac{5}{7}$

Чтобы найти $\text{ctg}(x)$, умножим обе части уравнения на -1:

$\text{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$

Ответ: $\text{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$.

tg x

Тангенс и котангенс — взаимно обратные функции, что выражается формулой $\text{tg}(x) = \frac{1}{\text{ctg}(x)}$.

Подставим в эту формулу найденное значение $\text{ctg}(x)$:

$\text{tg}(x) = \frac{1}{-\frac{5}{7}}$

Вычисляем значение тангенса:

$\text{tg}(x) = -\frac{7}{5}$

Ответ: $\text{tg}(x) = -\frac{7}{5}$.