Номер 14.4, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.4, страница 41.

14.4 Найдите значение функции $y = \operatorname{ctg} x$ при заданном значении аргумента $x$:

а) $x = \frac{\pi}{4}$;

б) $x = \frac{\pi}{3}$;

в) $x = 2\pi$;

г) $x = \frac{\pi}{2}$.

а) Для нахождения значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ при $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо подставить данное значение аргумента в функцию:
$y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$.
Котангенс определяется по формуле $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Для угла $x = \frac{\pi}{4}$ значения косинуса и синуса являются табличными: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляя эти значения, получаем:
$y = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.
Ответ: $1$.

б) Для нахождения значения функции при $x = \frac{\pi}{3}$, вычисляем $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3})$.
Значения косинуса и синуса для угла $x = \frac{\pi}{3}$: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения в формулу для котангенса:
$y = \frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$y = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Для нахождения значения функции при $x = 2\pi$, вычисляем $y = \operatorname{ctg}(2\pi)$.
Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число, так как в этих точках $\sin x = 0$.
Значение $x = 2\pi$ соответствует случаю, когда $k=2$. Следовательно, в этой точке функция не определена.
Проверим это через определение: $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$.
$y = \operatorname{ctg}(2\pi) = \frac{\cos(2\pi)}{\sin(2\pi)} = \frac{1}{0}$.
Деление на ноль невозможно, поэтому значение функции в данной точке не существует.
Ответ: значение функции не определено.

г) Для нахождения значения функции при $x = \frac{\pi}{2}$, вычисляем $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$.
Значения косинуса и синуса для угла $x = \frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Подставляем эти значения в формулу для котангенса:
$y = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$.