Номер 14.8, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.8, страница 42.

14.8 a) $f(x) = \operatorname{tg}x \cdot \sin^2 x;$

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 - 1};$

В) $f(x) = x^5 \operatorname{tg}x;$

Г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg}x.$

а) $f(x) = \text{tg}x \cdot \sin^2 x$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \text{tg}x$ и $v(x) = \sin^2 x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Для нахождения производной $v(x) = \sin^2 x$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\cdot)^2$ равна $2(\cdot)$, а производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.

$v'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \sin^2 x + \text{tg}x \cdot (2\sin x \cos x)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot 2\sin x \cos x = \text{tg}^2 x + 2\sin^2 x$.

Ответ: $f'(x) = \text{tg}^2 x + 2\sin^2 x$.

б) $f(x) = \frac{\text{tg}^2 x}{x^2 - 1}$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби) двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \text{tg}^2 x$ и $v(x) = x^2 - 1$.

Найдем производные этих функций:

Для нахождения $u'(x) = (\text{tg}^2 x)'$ используем правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = 2\text{tg}x \cdot (\text{tg}x)' = 2\text{tg}x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

$v'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{(2\text{tg}x \cdot \frac{1}{\cos^2 x})(x^2 - 1) - (\text{tg}^2 x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\frac{2(x^2 - 1)\text{tg}x}{\cos^2 x} - 2x \text{tg}^2 x}{(x^2 - 1)^2}$.

в) $f(x) = x^5 \text{tg}x$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^5$ и $v(x) = \text{tg}x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

$v'(x) = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 5x^4 \cdot \text{tg}x + x^5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = 5x^4 \text{tg}x + \frac{x^5}{\cos^2 x}$.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \text{tg}x$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций: $(u + v + w)' = u' + v' + w'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(x^2)' = 2x$.

$(\sin x)' = \cos x$.

$(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Суммируем полученные производные:

$f'(x) = 2x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = 2x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$.