Номер 14.6, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.6, страница 42.

14.6 Решите графически уравнение:

а) $ctg x = 1;$

б) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3};$

в) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $ctg x = 0.$

Для графического решения уравнения вида $ctg x = a$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = ctg x$ (котангенсоида) и $y = a$ (горизонтальная прямая). Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

а) ctg x = 1

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = 1$.

График функции $y = ctg x$ — это периодическая кривая (котангенсоида) с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi n$, где $n \in \Z$.

График функции $y = 1$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси $Oy$).

Прямая $y = 1$ пересекает график функции $y = ctg x$ бесконечное число раз. Чтобы найти все решения, достаточно найти одно из них (например, на главном промежутке $(0, \pi)$), а затем, используя периодичность котангенса, записать общую формулу для всех корней.

Известно, что значение котангенса равно 1 при угле $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка лежит в интервале $(0, \pi)$. Следовательно, одна из точек пересечения имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{4}$.

Так как период функции $y = ctg x$ равен $\pi$, все остальные решения находятся добавлением к найденному значению $n\pi$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \Z$.

б) ctg x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

График функции $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — это прямая, параллельная оси $Ox$.

Находим абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Найдем основной корень на интервале $(0, \pi)$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значит, одна из точек пересечения имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{3}$.

Учитывая периодичность функции котангенса (период $T=\pi$), все решения уравнения можно записать в виде общей формулы.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

в) ctg x = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

График $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ — это горизонтальная прямая, расположенная ниже оси абсцисс.

Найдем абсциссу точки пересечения графиков на главном интервале $(0, \pi)$. Значение арккотангенса для отрицательного числа вычисляется по формуле $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.

Следовательно, основной корень уравнения $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Так как прямая $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ пересекает каждую ветвь котангенсоиды, а период функции равен $\pi$, то все решения описываются общей формулой.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

г) ctg x = 0

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = 0$.

График функции $y = 0$ совпадает с осью абсцисс ($Ox$).

Решениями уравнения являются абсциссы точек, в которых график котангенса пересекает ось $Ox$.

На главном интервале $(0, \pi)$ котангенс обращается в ноль в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Все точки пересечения с осью $Ox$ получаются из этой точки сдвигом на целое число периодов $T = \pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \Z$.