Номер 14.2, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.2, страница 41.

14.2 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \text{tgx}$

на заданном промежутке:

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2});$

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi];$

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}];$

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2}).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \text{tg } x$ на заданных промежутках, необходимо проанализировать ее поведение, учитывая свойства монотонности и наличие вертикальных асимптот.

Функция $y = \text{tg } x$ является периодической с периодом $\pi$ и возрастает на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ — целое число. Точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами.

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Заданный интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ представляет собой один из основных интервалов, на котором функция $y = \text{tg } x$ непрерывна и строго возрастает. На границах этого интервала находятся вертикальные асимптоты. При приближении аргумента $x$ к левой границе интервала $\frac{\pi}{2}$ справа ($x \to \frac{\pi}{2}^+$), значение функции стремится к $-\infty$. При приближении аргумента $x$ к правой границе интервала $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), значение функции стремится к $+\infty$. Поскольку интервал открытый (концевые точки не включены), функция не достигает своих точных верхней и нижней граней. Область значений функции на этом интервале — это вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Наименьшего и наибольшего значений не существует.

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, который включает в себя данный полуинтервал $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$. Следовательно, на этом полуинтервале функция также возрастает. В силу возрастания, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, так как она в него включена: $y_{наиб} = \text{tg}(\pi) = 0$. Левая граница $x = \frac{3\pi}{4}$ не включена в промежуток. Значение функции в этой точке было бы $\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Так как функция возрастает, значения на интервале будут строго больше $-1$. Поскольку точка не принадлежит интервалу, функция лишь стремится к $-1$, но никогда его не достигает. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: Наибольшее значение равно $0$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, в который входит заданный отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$. Так как функция непрерывна и возрастает на замкнутом отрезке, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: Наименьшее значение равно $-1$, наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, в который входит заданный полуинтервал $[\pi; \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, на этом полуинтервале функция также возрастает. В силу возрастания, наименьшее значение достигается в самой левой точке промежутка, так как она в него включена: $y_{наим} = \text{tg}(\pi) = 0$. Правая граница $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой функции и не включена в промежуток. При приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), значение функции $y = \text{tg } x$ неограниченно возрастает, то есть стремится к $+\infty$. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: Наименьшее значение равно $0$, наибольшего значения не существует.