Номер 13.19, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.19, страница 39.

Постройте график функции:

13.19 а) $y = 3 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \cos \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) $y = 3 \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Для построения графика данной функции можно пойти двумя путями: через последовательные преобразования или через упрощение выражения с помощью формул приведения.

Способ 1: Упрощение функции.
Используем формулу приведения для синуса: $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$.
Тогда исходная функция принимает вид: $y = 3\cos(x)$.

График функции $y = 3\cos(x)$ получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в 3 раза.

• Амплитуда функции равна 3.
• Период функции остается таким же, как у $y = \cos(x)$, и равен $T = 2\pi$.
• Область значений функции: $[-3, 3]$.

Построение:
1. Строим график функции $y = \cos(x)$. Его ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 1)$.
2. Увеличиваем ординаты (значения y) всех точек графика в 3 раза. Ключевые точки для графика $y = 3\cos(x)$ будут: $(0, 3)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -3)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 3)$.
3. Соединяем эти точки плавной линией, получая косинусоиду, колеблющуюся между -3 и 3.

Способ 2: Последовательные преобразования.
1. Начинаем с графика $y = \sin(x)$.
2. Применяем растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график $y = 3\sin(x)$. Амплитуда становится равной 3.
3. Сдвигаем полученный график влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{2}$, чтобы получить график $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Например, точка $(0,0)$ на графике $y=3\sin(x)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, а точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 3)$ переместится в точку $(0, 3)$. Этот результат совпадает с графиком $y = 3\cos(x)$.

Ответ: График функции $y = 3 \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ является косинусоидой $y = 3\cos(x)$, полученной из графика $y = \cos(x)$ растяжением в 3 раза вдоль оси OY. Амплитуда равна 3, период $2\pi$, область значений $[-3, 3]$.

б) $y = \cos\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований: горизонтального растяжения и горизонтального сдвига.

Общий вид функции: $y = A\cos(k(x-b))$. В нашем случае амплитуда $A=1$, коэффициент $k=\frac{1}{2}$, сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$.

Шаги построения:
1. Базовый график: Начнем с графика функции $y = \cos(x)$. Его период $T=2\pi$, амплитуда 1, область значений $[-1, 1]$.
2. Горизонтальное растяжение: Преобразуем график в $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. Это вызывает растяжение графика вдоль оси абсцисс (оси OX) в $\frac{1}{k} = 2$ раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Ключевые точки для $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ на одном периоде $[0, 4\pi]$: $(0, 1)$, $(\pi, 0)$, $(2\pi, -1)$, $(3\pi, 0)$, $(4\pi, 1)$.
3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): Теперь преобразуем график $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ в $y = \cos\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Наличие слагаемого $+\frac{\pi}{3}$ внутри скобок означает сдвиг графика влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$.

Сместим ключевые точки графика $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево:

• Максимум: $(0 - \frac{\pi}{3}, 1) = \left(-\frac{\pi}{3}, 1\right)$
• Пересечение с осью OX: $(\pi - \frac{\pi}{3}, 0) = \left(\frac{2\pi}{3}, 0\right)$
• Минимум: $(2\pi - \frac{\pi}{3}, -1) = \left(\frac{5\pi}{3}, -1\right)$
• Пересечение с осью OX: $(3\pi - \frac{\pi}{3}, 0) = \left(\frac{8\pi}{3}, 0\right)$
• Следующий максимум: $(4\pi - \frac{\pi}{3}, 1) = \left(\frac{11\pi}{3}, 1\right)$

Соединив эти точки плавной линией, мы получим один период искомого графика.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси OX (что увеличивает период до $4\pi$), а затем сдвига полученного графика влево на $\frac{\pi}{3}$. Амплитуда функции равна 1, область значений $[-1, 1]$.