Номер 13.18, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.18, страница 39.

13.18 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = \begin{cases} \cos 2x, & \text{если } x \le \pi, \\ -\frac{1}{2}, & \text{если } x > \pi; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -\sin 3x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \cos 2x, & \text{если } x \le \pi \\ -\frac{1}{2}, & \text{если } x > \pi \end{cases}$

1. Построение графика.

Для $x \le \pi$ строим график функции $y = \cos 2x$. Это косинусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. График сжат по оси Ox в 2 раза по сравнению с $y=\cos x$. Ключевые точки на отрезке $[0, \pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$. Так как период равен $\pi$, этот узор повторяется для всех $x < 0$. В точке $x=\pi$ значение функции $f(\pi)=\cos(2\pi)=1$, поэтому точка $(\pi, 1)$ принадлежит графику (закрашенная точка).

Для $x > \pi$ строим график функции $y = -\frac{1}{2}$. Это горизонтальная прямая (луч), начинающаяся от $x=\pi$ и идущая вправо. В точке $x=\pi$ функция не определена этим выражением, поэтому на графике в точке $(\pi, -\frac{1}{2})$ будет выколотая точка.

В точке $x=\pi$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$, а предел справа $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = -1/2$.

2. Свойства функции (чтение графика).

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x \le \pi$, если $\cos 2x = 0$. Отсюда $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, т.е. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ при $k \in \mathbb{Z}$. Учитывая условие $x \le \pi$, получаем $k \le 1$. Нули: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le 0} \left(-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}; \pi\right]$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le 0} \left(\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{3\pi}{4}+k\pi\right) \cup (\pi; +\infty)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках вида $\left(\frac{\pi}{2}+k\pi; \pi+k\pi\right)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
  • Функция убывает на промежутках вида $\left(k\pi; \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.
  • Функция постоянна на промежутке $(\pi; +\infty)$.
• Экстремумы:
  • Точки максимума: $x=k\pi$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 1$. Значение в максимумах $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. Значение в минимумах $y_{min}=-1$.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: Функция непериодическая.
• Непрерывность: Функция непрерывна на $(-\infty; \pi) \cup (\pi; +\infty)$. В точке $x=\pi$ имеет разрыв первого рода.

Ответ: График функции состоит из косинусоиды $y=\cos 2x$ на интервале $(-\infty, \pi]$ и луча $y=-1/2$ на интервале $(\pi, +\infty)$. Основные свойства функции: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1, 1]$, нули $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$, функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, имеет разрыв первого рода в точке $x=\pi$.

---

б)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\sin 3x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

Для $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График выходит из начала координат $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Для $x < 0$ строим график функции $y = -\sin 3x$. Это синусоида, отраженная относительно оси Ox и сжатая по горизонтали в 3 раза (период $T = \frac{2\pi}{3}$). Амплитуда колебаний равна 1. График колеблется между -1 и 1. Предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} (-\sin 3x) = 0$.

Так как $f(0)=\sqrt{0}=0$ и предел слева также равен 0, функция является непрерывной в точке $x=0$. График представляет собой единую непрерывную линию.

2. Свойства функции (чтение графика).

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.
• Нули функции: $f(x) = 0$.
  • При $x \ge 0$: $\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0$.
  • При $x < 0$: $-\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=k\pi$, т.е. $x=\frac{k\pi}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
  Нули: $x=0$ и $x=\frac{k\pi}{3}$ для всех целых $k < 0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le -1} \left(\frac{(2k+1)\pi}{3}; \frac{2(k+1)\pi}{3}\right) \cup (0; +\infty)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le -1} \left(\frac{2k\pi}{3}; \frac{(2k+1)\pi}{3}\right)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на $(0; +\infty)$ и на промежутках вида $\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
  • Функция убывает на промежутках вида $\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}; \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right) \cap (-\infty, 0)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
• Экстремумы:
  • Точки максимума: $x = -\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. Значение в максимумах $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. Значение в минимумах $y_{min}=-1$.
  • Точка $x=0$ является точкой локального минимума, $f(0)=0$.
  • Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение функции равно -1.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: Функция непериодическая.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из графика $y=-\sin 3x$ для $x<0$ и графика $y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$. Основные свойства функции: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1, +\infty)$, нули $x=0$ и $x=\frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}, k < 0$, функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, непрерывна на всей числовой прямой. Наименьшее значение функции равно -1, наибольшего значения не существует.