Номер 13.14, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.14, страница 39.

13.14 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

а) на луче $ [0; +\infty) $;

б) на открытом луче $ (-\infty; \pi) $;

в) на луче $ (-\infty; \frac{\pi}{2}] $;

г) на открытом луче $ (\frac{\pi}{3}; +\infty) $.

а) на луче $[0; +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = \cos(\frac{x}{3})$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому наименьшее возможное значение функции равно -1, а наибольшее 1. Чтобы найти значения на заданном промежутке, необходимо определить, какие значения принимает аргумент косинуса.

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in [0; +\infty)$. При $x=0$, $t=0$. Если $x \to +\infty$, то и $t \to +\infty$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $[0; +\infty)$.

Поскольку промежуток $[0; +\infty)$ для $t$ содержит точки, в которых косинус равен 1 (например, $t=2\pi k$ для $k \ge 0$) и точки, в которых косинус равен -1 (например, $t=\pi + 2\pi k$ для $k \ge 0$), то функция $y = \cos(t)$ на этом промежутке достигает как своего наибольшего значения 1, так и наименьшего значения -1.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

б) на открытом луче $(-\infty; \pi)$

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in (-\infty; \pi)$. Если $x \to -\infty$, то $t \to -\infty$. Если $x \to \pi$, то $t \to \frac{\pi}{3}$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $(-\infty; \frac{\pi}{3})$.

Промежуток $(-\infty; \frac{\pi}{3})$ для $t$ является бесконечным. Он содержит точки, где косинус равен 1 (например, $t=0$, так как $0 < \frac{\pi}{3}$) и точки, где косинус равен -1 (например, $t=-\pi$, так как $-\pi < \frac{\pi}{3}$). Следовательно, функция достигает на этом луче своих наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

в) на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in (-\infty; \frac{\pi}{2}]$. Если $x \to -\infty$, то $t \to -\infty$. Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $t = \frac{\pi}{6}$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $(-\infty; \frac{\pi}{6}]$.

Промежуток $(-\infty; \frac{\pi}{6}]$ для $t$ является бесконечным. Он содержит точки, где косинус равен 1 (например, $t=0$, так как $0 \le \frac{\pi}{6}$) и точки, где косинус равен -1 (например, $t=-\pi$, так как $-\pi \le \frac{\pi}{6}$). Следовательно, функция достигает на этом луче своих наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

г) на открытом луче $(\frac{\pi}{3}; +\infty)$

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in (\frac{\pi}{3}; +\infty)$. Если $x \to \frac{\pi}{3}$, то $t \to \frac{\pi}{9}$. Если $x \to +\infty$, то $t \to +\infty$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $(\frac{\pi}{9}; +\infty)$.

Промежуток $(\frac{\pi}{9}; +\infty)$ для $t$ является бесконечным. Он содержит точки, где косинус равен 1 (например, $t=2\pi$, так как $2\pi > \frac{\pi}{9}$) и точки, где косинус равен -1 (например, $t=\pi$, так как $\pi > \frac{\pi}{9}$). Следовательно, функция достигает на этом луче своих наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.