Номер 13.9, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.9, страница 38.

13.9 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x):$

a) $f(x) = \begin{cases} 3 \sin x, \text{ если } x < \frac{\pi}{2}, \\ 2 \cos x + 3, \text{ если } x \ge \frac{\pi}{2}; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -2 \cos x, \text{ если } x < 0, \\ \frac{1}{2}x^4, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

a)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} 3 \sin x, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ 2 \cos x + 3, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$.

Построение графика:

1. Для $x < \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = 3 \sin x$. Это график синусоиды с периодом $2\pi$, растянутый в 3 раза вдоль оси ординат. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, -3)$, $(-\pi, 0)$, $(-\frac{3\pi}{2}, 3)$. В граничной точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-} 3\sin x = 3(1) = 3$. На графике это будет выколотая точка $(\frac{\pi}{2}, 3)$.

2. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = 2 \cos x + 3$. Это график косинусоиды с периодом $2\pi$, растянутый в 2 раза вдоль оси ординат и смещенный на 3 единицы вверх вдоль той же оси. Ключевые точки: $(\pi, 1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 3)$, $(2\pi, 5)$. В граничной точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + 3 = 2(0) + 3 = 3$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 3)$ принадлежит графику.

Так как предел функции слева в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке, функция непрерывна на всей числовой прямой. График состоит из двух частей тригонометрических функций, "сшитых" в точке $(\frac{\pi}{2}, 3)$.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-3; 5]$. Для $x < \frac{\pi}{2}$ значения $3\sin x$ лежат в $[-3, 3]$. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$ значения $2\cos x + 3$ лежат в $[1, 5]$. Объединение этих множеств дает $[-3, 5]$.
3. Четность: функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Например, $f(\pi) = 1$, а $f(-\pi) = 0$.
4. Периодичность: функция не является периодической.
5. Нули функции ($f(x)=0$): Для $x < \frac{\pi}{2}$: $3\sin x = 0 \Rightarrow x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k\pi < \frac{\pi}{2}$, т.е. $k \le 0$. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$: $2\cos x + 3 = 0 \Rightarrow \cos x = -1.5$, решений нет. Нули функции: $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \le -1} (2k\pi, (2k+1)\pi) \cup (0, +\infty)$. $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \le 0} ((2k-1)\pi, 2k\pi)$.
7. Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из промежутков: $\dots, [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\pi, 2\pi], [3\pi, 4\pi], \dots$ Функция убывает на каждом из промежутков: $\dots, [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \pi], [2\pi, 3\pi], \dots$
8. Экстремумы: Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$ при $k \le 0$ (значение $y=3$); $x=2k\pi$ при $k \ge 1$ (значение $y=5$). Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$ при $k \le 0$ (значение $y=-3$); $x=(2k+1)\pi$ при $k \ge 0$ (значение $y=1$). Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 5$. Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -3$.
9. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $\mathbb{R}$.

Ответ: График функции построен и его свойства проанализированы.

б)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} -2 \cos x, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2}x^4, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Построение графика:

1. Для $x < 0$ строим график функции $y = -2 \cos x$. Это график косинусоиды с периодом $2\pi$, отраженный относительно оси абсцисс и растянутый в 2 раза вдоль оси ординат. Ключевые точки: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(-\pi, 2)$, $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(-2\pi, -2)$. В граничной точке $x = 0$ имеем $\lim_{x\to 0^-} -2\cos x = -2(1) = -2$. На графике это будет выколотая точка $(0, -2)$.

2. Для $x \ge 0$ строим график функции $y = \frac{1}{2}x^4$. Это степенная функция, график которой похож на параболу, но более "плоский" у вершины и круче идет вверх. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, \frac{1}{2})$, $(2, 8)$. В граничной точке $x = 0$ имеем $f(0) = \frac{1}{2}(0)^4 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Так как предел функции слева в точке $x = 0$ (равный -2) не равен значению функции в этой точке (равному 0), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-2; +\infty)$. Для $x < 0$ значения $-2\cos x$ лежат в $[-2, 2]$. Для $x \ge 0$ значения $\frac{1}{2}x^4$ лежат в $[0, +\infty)$. Объединение этих множеств дает $[-2, +\infty)$.
3. Четность: функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Например, $f(\pi) = \frac{1}{2}\pi^4$, а $f(-\pi) = 2$.
4. Периодичность: функция не является периодической.
5. Нули функции ($f(x)=0$): Для $x < 0$: $-2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $x < 0$. Это точки $x = \dots, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}$. Для $x \ge 0$: $\frac{1}{2}x^4 = 0 \Rightarrow x=0$. Нули функции: $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \le -1} (\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi) \cup (0, +\infty)$. $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \le 0} (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi)$ с учетом $x<0$, то есть $\dots \cup (-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, 0)$.
7. Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из промежутков: $\dots, [-4\pi, -3\pi], [-2\pi, -\pi]$ и на $[0, +\infty)$. Функция убывает на каждом из промежутков: $\dots, [-5\pi, -4\pi], [-3\pi, -2\pi], [-\pi, 0)$.
8. Экстремумы: Точки максимума: $x = (2k+1)\pi$ при $k \le -1$ (значение $y=2$). Точки минимума: $x = 2k\pi$ при $k \le -1$ (значение $y=-2$). Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -2$.
9. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции построен и его свойства проанализированы.