Номер 13.16, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.16, страница 39.

13.16 Известно, что $f(x) = \sin 2x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $f(-3x)$;

г) $f(-x) + f(x)$.

Дана функция $f(x) = \sin(2x)$.

а) f(-x);

Чтобы найти $f(-x)$, нужно подставить $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x)$

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство:

$f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x)$

Ответ: $f(-x) = -\sin(2x)$

б) 2f(x);

Чтобы найти $2f(x)$, нужно умножить данную функцию на 2:

$2f(x) = 2 \cdot f(x) = 2 \cdot \sin(2x)$

Ответ: $2f(x) = 2\sin(2x)$

в) f(-3x);

Чтобы найти $f(-3x)$, нужно подставить $-3x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-3x) = \sin(2(-3x)) = \sin(-6x)$

Используя свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$f(-3x) = \sin(-6x) = -\sin(6x)$

Ответ: $f(-3x) = -\sin(6x)$

г) f(-x) + f(x).

Для нахождения этого выражения воспользуемся результатом из пункта а), где мы нашли, что $f(-x) = -\sin(2x)$. Сложим это выражение с исходной функцией $f(x) = \sin(2x)$:

$f(-x) + f(x) = (-\sin(2x)) + (\sin(2x))$

$f(-x) + f(x) = -\sin(2x) + \sin(2x) = 0$

Этот результат также следует из того, что функция $f(x) = \sin(2x)$ является нечетной, а для любой нечетной функции справедливо тождество $f(-x) = -f(x)$, из которого следует, что $f(-x) + f(x) = 0$.

Ответ: $0$