Номер 13.22, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.22, страница 39.

13.22 a) $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right).$

а) Исследуем свойства функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$.

Область определения: Аргумент функции синус определён для любых действительных чисел, поэтому область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Стандартная область значений для синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Так как функция умножается на коэффициент $\frac{1}{2}$, то область значений для данной функции: $E(y) = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

Период: Период функции вида $y = A\sin(kx+\phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$, следовательно, период функции равен $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Четность: Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{-x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(-\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Нули функции: Найдем точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс, решив уравнение $y=0$:
$\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = 0$.
Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi n$
$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{6}$
$x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы функции:
Максимальное значение функции $y_{max} = \frac{1}{2}$ достигается при $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = 1$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение функции $y_{min} = -\frac{1}{2}$ достигается при $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{min} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$: область определения $D(y)=\mathbb{R}$; область значений $E(y)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$; период $T=4\pi$; нули функции при $x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$; точки максимума $x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{max}=\frac{1}{2}$); точки минимума $x_{min} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{min}=-\frac{1}{2}$), где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Исследуем свойства функции $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$, так как функция косинус определена для любых действительных чисел.

Область значений: Значения косинуса лежат в отрезке $[-1, 1]$. Умножение на $-\frac{3}{2}$ "переворачивает" и растягивает этот отрезок: $1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2}$ и $(-1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}$. Таким образом, область значений функции $E(y) = \left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]$.

Период: Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.

Четность: Проверим функцию на четность, найдя $y(-x)$:
$y(-x) = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{-x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3}{2}\cos\left(-\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right)$.
Так как косинус - четная функция ($\cos(-u) = \cos(u)$), то:
$y(-x) = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Нули функции: Решим уравнение $y=0$:
$-\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы функции:
Максимальное значение функции $y_{max} = \frac{3}{2}$ достигается при $\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -1$ (из-за отрицательного коэффициента $-\frac{3}{2}$).
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение функции $y_{min} = -\frac{3}{2}$ достигается при $\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 1$.
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{min} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$: область определения $D(y)=\mathbb{R}$; область значений $E(y)=[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$; период $T=4\pi$; нули функции при $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$; точки максимума $x_{max} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{max}=\frac{3}{2}$); точки минимума $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{min}=-\frac{3}{2}$), где $n \in \mathbb{Z}$.