Номер 14.5, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.5, страница 42.

14.5 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ на заданном промежутке:

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$;

б) на полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$;

в) на интервале $(-\pi; 0)$;

г) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \text{ctg} x$ на заданных промежутках воспользуемся свойством монотонности котангенса. Функция $y = \text{ctg} x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ — целое число.

а) на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

Заданный отрезок $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$ является частью интервала $(0; \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} x$ непрерывна и строго убывает. Следовательно, на этом отрезке функция принимает свое наибольшее значение в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

На данном полуинтервале, который также является частью интервала $(0; \pi)$, функция $y = \text{ctg} x$ непрерывна и строго убывает.
Поскольку функция убывает, наибольшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть в точке $x = \frac{\pi}{2}$ (так как она включена в промежуток).
$y_{наиб} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Правая граница $x = \pi$ не включена в промежуток. Чтобы определить, есть ли наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при приближении $x$ к $\pi$ слева ($x \to \pi^-$).
$\lim_{x \to \pi^-} \text{ctg} x = \lim_{x \to \pi^-} \frac{\cos x}{\sin x} = -\infty$, так как при $x \to \pi^-$ значение $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь положительным ($\sin x \to 0^+$).
Так как функция стремится к $-\infty$, она не ограничена снизу, и наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

в) на интервале $(-\pi; 0)$

Интервал $(-\pi; 0)$ является одним из основных интервалов, на котором функция $y = \text{ctg} x$ определена, непрерывна и строго убывает.
Так как интервал открытый, исследуем поведение функции на его границах.
При $x$, стремящемся к левой границе $-\pi$ справа ($x \to -\pi^+$):
$\lim_{x \to -\pi^+} \text{ctg} x = \lim_{x \to -\pi^+} \frac{\cos x}{\sin x} = +\infty$, так как при $x \to -\pi^+$ значение $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь отрицательным ($\sin x \to 0^-$).
При $x$, стремящемся к правой границе $0$ слева ($x \to 0^-$):
$\lim_{x \to 0^-} \text{ctg} x = \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{\sin x} = -\infty$, так как при $x \to 0^-$ значение $\cos x \to 1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь отрицательным ($\sin x \to 0^-$).
На данном интервале значения функции изменяются от $+\infty$ до $-\infty$. Таким образом, функция не ограничена ни сверху, ни снизу, и у нее нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: ни наибольшего, ни наименьшего значений на данном интервале не существует.

г) на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$

Заданный отрезок $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$ является частью интервала $(0; \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} x$ непрерывна и строго убывает.
Следовательно, на этом отрезке функция принимает свое наибольшее значение в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно $\sqrt{3}$.