Номер 13.23, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.23, страница 40.

13.23 Составьте возможное аналитическое задание функции по её графику, изображённому:

а) на рис. 13;

б) на рис. 14.

Рис. 13

Рис. 14

a)

График, представленный на рисунке 13, является графиком кусочно-заданной функции. Функция определяется одной формулой для $x < 0$ и другой для $x \ge 0$.

При $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы с вершиной в начале координат. Общее уравнение такой параболы $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся одной из точек на графике, например, $(-1, 1)$. Подставляя её координаты в уравнение, получаем: $1 = a \cdot (-1)^2$, что даёт $a=1$. Таким образом, для $x < 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Для проверки можно взять точку $(-2, 4)$: $y = (-2)^2 = 4$, что соответствует графику.

При $x \ge 0$ график имеет вид волны. Это график тригонометрической функции. Определим её по ключевым точкам: $(0, 0)$, $(\pi/2, 0.5)$ (максимум) и $(\pi, 0)$. Поскольку функция неотрицательна и обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=\pi$, её можно описать формулой вида $y = A \sin^2(kx)$. Подставим точку максимума $(\pi/2, 0.5)$: $0.5 = A \sin^2(k \cdot \pi/2)$. Простейшее значение $k$, при котором $\sin(k\pi)=0$, это $k=1$. Тогда для точки максимума получим $0.5 = A \sin^2(\pi/2) = A \cdot 1^2$, откуда $A=0.5$. Следовательно, для $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = 0.5\sin^2(x)$.

Объединив два найденных выражения, получаем аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0.5\sin^2(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0.5\sin^2(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

б)

График, представленный на рисунке 14, также является графиком кусочно-заданной функции, определённой на луче $[-\pi/2, +\infty)$. Точка, в которой меняется формула, — это $x = \pi/2$.

При $x \ge \pi/2$ график представляет собой луч. Он проходит через точки $(\pi/2, 0)$ и, как видно из сетки, $(\pi, \pi/2)$. Найдём уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\pi/2 - 0}{\pi - \pi/2} = \frac{\pi/2}{\pi/2} = 1$. Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = k(x-x_0) + y_0$ и точку $(\pi/2, 0)$, получаем: $y = 1 \cdot (x - \pi/2) + 0$, то есть $y = x - \pi/2$.

На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ график представляет собой арку косинусоиды. Максимум функции достигается в точке $(0, 1.5)$, а в точках $x = -\pi/2$ и $x = \pi/2$ функция равна нулю. Такая кривая описывается уравнением вида $y = A \cos(kx)$. Амплитуда $A$ равна максимальному значению функции, т.е. $A = 1.5$. Функция обращается в ноль при $x=\pi/2$, поэтому $1.5 \cos(k \cdot \pi/2) = 0$. Это выполняется, если $k \cdot \pi/2 = \pi/2$, откуда $k=1$. Проверим: функция $y = 1.5 \cos(x)$ в точке $x=0$ даёт $y = 1.5 \cos(0) = 1.5$, а в точках $x=\pm\pi/2$ даёт $y=1.5\cos(\pm\pi/2)=0$. Это полностью соответствует графику.

Таким образом, объединяя обе части, получаем аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} 1.5\cos(x), & \text{если } -\pi/2 \le x < \pi/2 \\ x - \pi/2, & \text{если } x \ge \pi/2 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 1.5\cos(x), & \text{если } -\pi/2 \le x < \pi/2 \\ x - \pi/2, & \text{если } x \ge \pi/2 \end{cases}$