Номер 13.20, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.20, страница 39.

13.20 a) $y = -2 \cos 2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = -2 \sin 3 \left(x + \frac{\pi}{2}\right).$

а)

Рассмотрим функцию $y = -2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.
Это тригонометрическая функция, график которой можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$. Проанализируем ее свойства, исходя из общей формы $y = A \cos(k(x - b)) + d$.

В данном случае:

• Амплитудный коэффициент $A = -2$
• Угловой коэффициент (влияет на период) $k = 2$
• Фазовый сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$
• Вертикальный сдвиг $d = 0$

Исходя из этих параметров, определим основные свойства функции:

1. Амплитуда: Амплитуда колебаний равна модулю коэффициента $A$. Амплитуда $= |A| = |-2| = 2$.

2. Период: Период функции $T$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Фазовый сдвиг: Аргумент функции записан в виде $2(x + \frac{\pi}{3}) = 2(x - (-\frac{\pi}{3}))$. Это означает, что график функции $y = -2\cos(2x)$ сдвинут вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево.

4. Отражение и растяжение: Коэффициент $A = -2$ показывает, что график функции $y = \cos(x)$ был растянут в 2 раза вдоль оси ординат и затем отражен относительно оси абсцисс.

5. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любого действительного аргумента.

6. Область значений: Так как амплитуда равна 2, а вертикального сдвига нет, значения функции находятся в пределах от -2 до 2. $E(y) = [-2; 2]$.

Ответ: Для функции $y = -2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$: амплитуда равна 2, период равен $\pi$, фазовый сдвиг равен $-\frac{\pi}{3}$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$ относительно графика $y=-2\cos(2x)$), область значений $E(y) = [-2; 2]$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -2 \sin(3(x + \frac{\pi}{2}))$.
Для анализа этой функции удобно сначала упростить ее выражение, используя формулы приведения.

Раскроем скобки в аргументе синуса: $y = -2 \sin(3x + \frac{3\pi}{2})$

Применим формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 3x$. Следовательно, $\sin(3x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(3x)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение функции: $y = -2 \cdot (-\cos(3x)) = 2\cos(3x)$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = 2\cos(3x)$. Проанализируем свойства этой упрощенной функции.

1. Амплитуда: Коэффициент при косинусе $A = 2$. Амплитуда равна $|A| = |2| = 2$.

2. Период: Коэффициент при $x$ равен $k = 3$. Период $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

3. Фазовый сдвиг: В форме $y = 2\cos(3x)$ фазовый сдвиг относительно функции $y = 2\cos(3x)$ равен нулю. Это означает, что сложный сдвиг и преобразование функции из синуса в косинус в исходной записи эквивалентны простому косинусу без сдвига фазы.

4. Вертикальный сдвиг: Отсутствует.

5. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

6. Область значений: С учетом амплитуды $A=2$, область значений функции $E(y) = [-2; 2]$.

Ответ: Функция $y = -2 \sin(3(x + \frac{\pi}{2}))$ тождественно равна $y = 2\cos(3x)$. Ее свойства: амплитуда равна 2, период равен $\frac{2\pi}{3}$, фазовый сдвиг (в упрощенной форме) отсутствует, область значений $E(y) = [-2; 2]$.