Номер 13.13, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.13, страница 38.

13.13 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin 2x$:

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$;

б) на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$;

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$;

г) на полуинтервале $(0; \pi]$.

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(2x)$ на заданном отрезке, сначала определим, в каких пределах изменяется аргумент $2x$.

Если $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$, то, умножив все части неравенства на 2, получим $2x \in [-\pi; 0]$. Обозначим $t = 2x$. Теперь задача сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(t)$ на отрезке $[-\pi; 0]$.

На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $\sin(t)$ принимает следующие значения:

• В точке $t = -\pi$, $\sin(-\pi) = 0$.
• В точке $t = -\frac{\pi}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
• В точке $t = 0$, $\sin(0) = 0$.

На этом отрезке функция сначала убывает от 0 до -1 (на $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$), а затем возрастает от -1 до 0 (на $[-\frac{\pi}{2}; 0]$).

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 (достигается при $2x = -\frac{\pi}{2}$, т.е. $x = -\frac{\pi}{4}$), а наибольшее значение равно 0 (достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x=0$).

Ответ: наименьшее значение: $-1$, наибольшее значение: $0$.

б) на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$

Определим пределы для аргумента $2x$. Если $x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, то $2x \in (-\frac{\pi}{2}; \pi)$. Обозначим $t = 2x$.

Найдём значения функции $y = \sin(t)$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Наибольшее значение функции $\sin(t)$ равно 1 и достигается при $t = \frac{\pi}{2}$. Это соответствует $2x = \frac{\pi}{2}$, или $x = \frac{\pi}{4}$. Так как $x = \frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, наибольшее значение функции равно 1.

Когда $t$ стремится к $-\frac{\pi}{2}$ (справа), значение $\sin(t)$ стремится к -1, но никогда не достигает этого значения, поскольку точка $t = -\frac{\pi}{2}$ не включена в интервал. Следовательно, наименьшее значение на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение: $1$.

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$

Если $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$, то аргумент $2x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Обозначим $t = 2x$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin(t)$ является монотонно возрастающей. Это означает, что наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{min} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Это значение достигается при $2x = -\frac{\pi}{2}$, т.е. $x = -\frac{\pi}{4}$.

Наибольшее значение: $y_{max} = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это значение достигается при $2x = \frac{\pi}{2}$, т.е. $x = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: наименьшее значение: $-1$, наибольшее значение: $1$.

г) на полуинтервале $(0; \pi]$

Если $x \in (0; \pi]$, то аргумент $2x \in (0; 2\pi]$. Обозначим $t = 2x$.

Рассмотрим поведение функции $y = \sin(t)$ на полуинтервале $(0; 2\pi]$. Этот интервал охватывает почти полный период функции синус.

Наибольшее значение функции $\sin(t)$, равное 1, достигается при $t = \frac{\pi}{2}$. Это соответствует $2x = \frac{\pi}{2}$, то есть $x = \frac{\pi}{4}$. Это значение $x$ входит в заданный полуинтервал $(0; \pi]$.

Наименьшее значение функции $\sin(t)$, равное -1, достигается при $t = \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует $2x = \frac{3\pi}{2}$, то есть $x = \frac{3\pi}{4}$. Это значение $x$ также входит в заданный полуинтервал $(0; \pi]$.

Таким образом, на данном полуинтервале функция достигает как своего глобального максимума, так и глобального минимума.

Ответ: наименьшее значение: $-1$, наибольшее значение: $1$.