Номер 13.10, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.10, страница 38.

Постройте график функции:

13.10 а) $y = \sin \frac{x}{3}$;

б) $y = \cos 2x$;

в) $y = \cos \frac{x}{2}$;

г) $y = \sin 3x$.

а) Для построения графика функции $y = \sin\frac{x}{3}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sin x$.
Данная функция является синусоидой. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $0 < |k| < 1$ соответствует растяжению графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в $\frac{1}{k}$ раз.
В нашем случае $k = \frac{1}{3}$, следовательно, график функции $y = \sin x$ нужно растянуть вдоль оси Ox в $1 / (1/3) = 3$ раза.
Период основной функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \sin\frac{x}{3}$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода: $x=0, y = \sin(0) = 0$. Точка (0, 0).
- Максимум: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{2}, y = 1$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.
- Пересечение с осью Ox (середина периода): $\frac{x}{3} = \pi \implies x = 3\pi, y = 0$. Точка $(3\pi, 0)$.
- Минимум: $\frac{x}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{9\pi}{2}, y = -1$. Точка $(\frac{9\pi}{2}, -1)$.
- Конец периода: $\frac{x}{3} = 2\pi \implies x = 6\pi, y = 0$. Точка $(6\pi, 0)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \sin\frac{x}{3}$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения вдоль оси Ox в 3 раза. Период функции равен $6\pi$.

б) Для построения графика функции $y = \cos 2x$ воспользуемся графиком основной функции $y = \cos x$.
Данная функция является косинусоидой. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси ординат (оси Oy) в $k$ раз.
В нашем случае $k = 2$, следовательно, график функции $y = \cos x$ нужно сжать к оси Oy в 2 раза.
Период основной функции $y = \cos x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \cos 2x$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода (максимум): $x=0, y = \cos(0) = 1$. Точка (0, 1).
- Пересечение с осью Ox: $2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}, y = 0$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
- Минимум: $2x = \pi \implies x = \frac{\pi}{2}, y = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
- Пересечение с осью Ox: $2x = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{4}, y = 0$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 0)$.
- Конец периода (максимум): $2x = 2\pi \implies x = \pi, y = 1$. Точка $(\pi, 1)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его сжатия к оси Oy в 2 раза. Период функции равен $\pi$.

в) Для построения графика функции $y = \cos\frac{x}{2}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \cos x$.
Преобразование вида $y = f(kx)$ при $0 < |k| < 1$ соответствует растяжению графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в $\frac{1}{k}$ раз.
В нашем случае $k = \frac{1}{2}$, следовательно, график функции $y = \cos x$ нужно растянуть вдоль оси Ox в $1 / (1/2) = 2$ раза.
Период основной функции $y = \cos x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \cos\frac{x}{2}$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода (максимум): $x=0, y = \cos(0) = 1$. Точка (0, 1).
- Пересечение с осью Ox: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} \implies x = \pi, y = 0$. Точка $(\pi, 0)$.
- Минимум: $\frac{x}{2} = \pi \implies x = 2\pi, y = -1$. Точка $(2\pi, -1)$.
- Пересечение с осью Ox: $\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{2} \implies x = 3\pi, y = 0$. Точка $(3\pi, 0)$.
- Конец периода (максимум): $\frac{x}{2} = 2\pi \implies x = 4\pi, y = 1$. Точка $(4\pi, 1)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции равен $4\pi$.

г) Для построения графика функции $y = \sin 3x$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sin x$.
Преобразование вида $y = f(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси ординат (оси Oy) в $k$ раз.
В нашем случае $k = 3$, следовательно, график функции $y = \sin x$ нужно сжать к оси Oy в 3 раза.
Период основной функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \sin 3x$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода: $x=0, y = \sin(0) = 0$. Точка (0, 0).
- Максимум: $3x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, y = 1$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 1)$.
- Пересечение с осью Ox (середина периода): $3x = \pi \implies x = \frac{\pi}{3}, y = 0$. Точка $(\frac{\pi}{3}, 0)$.
- Минимум: $3x = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2}, y = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
- Конец периода: $3x = 2\pi \implies x = \frac{2\pi}{3}, y = 0$. Точка $(\frac{2\pi}{3}, 0)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \sin 3x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сжатия к оси Oy в 3 раза. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$.