Номер 13.8, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §13. Преобразование графиков тригонометрических функций - номер 13.8, страница 38.

Условие.

13.8 a) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = -\sin \left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

г) $y = 1{,}5 \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы получить график функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \sin x$.
Функция имеет общий вид $y = A \sin(x - C)$, где в данном случае амплитуда $A=2$ и фазовый сдвиг $C=\frac{\pi}{3}$.
1. Растяжение вдоль оси ординат (оси Oy): коэффициент $A=2$ перед функцией синуса означает, что каждое значение функции $y = \sin x$ умножается на 2. Это соответствует растяжению графика от оси Ox в 2 раза. В результате получаем график функции $y = 2 \sin x$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс (оси Ox): вычитание числа $\frac{\pi}{3}$ из аргумента $x$ означает сдвиг графика вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц. Таким образом, график функции $y = 2 \sin x$ смещается вправо.

Ответ: График функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза с последующим сдвигом вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

б) Чтобы получить график функции $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \cos x$.
Функция имеет общий вид $y = A \cos(x - C)$, где $A=-3$ и $C=-\frac{\pi}{6}$ (поскольку $x+\frac{\pi}{6} = x-(-\frac{\pi}{6})$).
1. Растяжение и отражение: коэффициент $A=-3$ указывает на два преобразования. Во-первых, модуль $|-3|=3$ означает растяжение графика $y = \cos x$ вдоль оси Oy в 3 раза. Во-вторых, знак «минус» означает отражение графика относительно оси Ox. В результате этих двух преобразований получаем график функции $y = -3 \cos x$.
2. Параллельный перенос вдоль оси Ox: добавление числа $\frac{\pi}{6}$ к аргументу $x$ означает сдвиг графика влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Таким образом, график функции $y = -3 \cos x$ смещается влево.

Ответ: График функции $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 3 раза, отражения относительно оси Ox и последующего сдвига вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ влево.

в) Чтобы получить график функции $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \sin x$.
Функция имеет общий вид $y = A \sin(x - C)$, где $A=-1$ и $C=-\frac{2\pi}{3}$.
1. Отражение относительно оси Ox: коэффициент $A=-1$ перед функцией синуса означает, что график функции $y = \sin x$ отражается симметрично относительно оси Ox. В результате получаем график функции $y = -\sin x$.
2. Параллельный перенос вдоль оси Ox: добавление числа $\frac{2\pi}{3}$ к аргументу $x$ означает сдвиг графика влево на $\frac{2\pi}{3}$ единиц. Таким образом, график функции $y = -\sin x$ смещается влево.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем отражения относительно оси Ox с последующим сдвигом вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ влево.

г) Чтобы получить график функции $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \cos x$.
Функция имеет общий вид $y = A \cos(x - C)$, где $A=1,5$ и $C=\frac{2\pi}{3}$.
1. Растяжение вдоль оси Oy: коэффициент $A=1,5$ перед функцией косинуса означает, что график функции $y = \cos x$ растягивается от оси Ox в 1,5 раза. В результате получаем график функции $y = 1,5 \cos x$.
2. Параллельный перенос вдоль оси Ox: вычитание числа $\frac{2\pi}{3}$ из аргумента $x$ означает сдвиг графика вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц. Таким образом, график функции $y = 1,5 \cos x$ смещается вправо.

Ответ: График функции $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 1,5 раза с последующим сдвигом вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.