Номер 13.6, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.6, страница 37.

13.6 Известно, что $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $f(x + 2\pi)$;

г) $f(-x) - f(x)$.

Дана функция $f(x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

а) $f(-x)$;

Для нахождения $f(-x)$ необходимо подставить $-x$ вместо $x$ в формулу функции.

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos(-x)$

Функция косинуса является четной, что означает $\cos(-x) = \cos x$ для любого значения $x$. Поэтому мы можем упростить выражение:

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$.

Ответ: $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

б) $2f(x)$;

Для нахождения $2f(x)$ необходимо умножить выражение для $f(x)$ на 2.

$2f(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)$

Выполним умножение:

$2f(x) = -\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)\cos x = -1 \cdot \cos x = -\cos x$

Ответ: $2f(x) = -\cos x$.

в) $f(x + 2\pi)$;

Для нахождения $f(x + 2\pi)$ необходимо подставить $x + 2\pi$ вместо $x$ в формулу функции.

$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos(x + 2\pi)$

Функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$. Это значит, что $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.

Следовательно:

$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos x$

Ответ: $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos x$.

г) $f(-x) - f(x)$.

Для нахождения этого выражения воспользуемся результатом из пункта а), где мы нашли, что $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

Теперь вычтем $f(x)$ из $f(-x)$:

$f(-x) - f(x) = \left(-\frac{1}{2}\cos x\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)$

$f(-x) - f(x) = -\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = 0$

Ответ: $f(-x) - f(x) = 0$.