Номер 13.17, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.17, страница 39.

13.17 Постройте график функции:

а) $y = \sin 2x - 1$;

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$;

в) $y = \cos 2x + 3$;

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$.

а) $y = \sin 2x - 1$

Построение графика функции $y = \sin 2x - 1$ выполняется в несколько этапов, используя преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin 2x$. Это преобразование представляет собой сжатие графика $y_1 = \sin x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \sin 2x - 1$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \sin 2x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные свойства функции $y = \sin 2x - 1$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1-1; 1-1] = [-2; 0]$.
• Период: $T = \pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, \pi]$:

• при $x=0, y = \sin(0) - 1 = -1$;
• при $x=\frac{\pi}{4}, y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 1 = \sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$;
• при $x=\frac{\pi}{2}, y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - 1 = \sin(\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$;
• при $x=\frac{3\pi}{4}, y = \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) - 1 = \sin(\frac{3\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$;
• при $x=\pi, y = \sin(2\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: График функции $y = \sin 2x - 1$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по оси абсцисс в 2 раза и последующим сдвигом вниз по оси ординат на 1 единицу.

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$

Построение графика функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Строим график функции $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \cos \frac{x}{2}$. Это преобразование представляет собой растяжение графика $y_1 = \cos x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \cos \frac{x}{2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные свойства функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1+1; 1+1] = [0; 2]$.
• Период: $T = 4\pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, 4\pi]$:

• при $x=0, y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$;
• при $x=\pi, y = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
• при $x=2\pi, y = \cos(\frac{2\pi}{2}) + 1 = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0$;
• при $x=3\pi, y = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
• при $x=4\pi, y = \cos(\frac{4\pi}{2}) + 1 = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения по оси абсцисс в 2 раза и последующим сдвигом вверх по оси ординат на 1 единицу.

в) $y = \cos 2x + 3$

Построение графика функции $y = \cos 2x + 3$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Строим график функции $y_1 = \cos x$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \cos 2x$. Это сжатие графика $y_1 = \cos x$ вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции становится равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \cos 2x + 3$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \cos 2x$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Основные свойства функции $y = \cos 2x + 3$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1+3; 1+3] = [2; 4]$.
• Период: $T = \pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, \pi]$:

• при $x=0, y = \cos(0) + 3 = 1 + 3 = 4$;
• при $x=\frac{\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 3 = \cos(\frac{\pi}{2}) + 3 = 0 + 3 = 3$;
• при $x=\frac{\pi}{2}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 3 = \cos(\pi) + 3 = -1 + 3 = 2$;
• при $x=\frac{3\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 3 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 3 = 0 + 3 = 3$;
• при $x=\pi, y = \cos(2\pi) + 3 = 1 + 3 = 4$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x + 3$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем сжатия по оси абсцисс в 2 раза и последующим сдвигом вверх по оси ординат на 3 единицы.

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$

Построение графика функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin x$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin \frac{x}{3}$. Это растяжение графика $y_1 = \sin x$ вдоль оси Ox в 3 раза. Период функции становится равным $T' = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \sin \frac{x}{3}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Основные свойства функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1-2; 1-2] = [-3; -1]$.
• Период: $T = 6\pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, 6\pi]$:

• при $x=0, y = \sin(0) - 2 = -2$;
• при $x=\frac{3\pi}{2}, y = \sin(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2}) - 2 = \sin(\frac{\pi}{2}) - 2 = 1 - 2 = -1$;
• при $x=3\pi, y = \sin(\frac{3\pi}{3}) - 2 = \sin(\pi) - 2 = 0 - 2 = -2$;
• при $x=\frac{9\pi}{2}, y = \sin(\frac{1}{3} \cdot \frac{9\pi}{2}) - 2 = \sin(\frac{3\pi}{2}) - 2 = -1 - 2 = -3$;
• при $x=6\pi, y = \sin(\frac{6\pi}{3}) - 2 = \sin(2\pi) - 2 = 0 - 2 = -2$.

Ответ: График функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем растяжения по оси абсцисс в 3 раза и последующим сдвигом вниз по оси ординат на 2 единицы.