Номер 14.1, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.1, страница 41.

14.1 Найдите значение функции $y = \operatorname{tg}x$ при заданном значении аргумента $x$:

а) $x = -\frac{\pi}{4}$;

б) $x = \frac{2\pi}{3}$;

в) $x = \frac{3\pi}{4}$;

г) $x = \pi$.

а) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \frac{\pi}{4}$, нужно подставить данное значение аргумента в функцию:

$y = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует 45°) является стандартным тригонометрическим значением:

$\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Ответ: $1$.

б) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \frac{2\pi}{3}$, подставим значение $x$:

$y = \tg\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти. Для вычисления тангенса можно использовать формулу приведения $\tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha)$.

Представим $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$:

$\tg\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Значение $\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$ является табличным:

$\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

Таким образом, $y = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \frac{3\pi}{4}$, подставим значение $x$:

$y = \tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Угол $\frac{3\pi}{4}$ также находится во второй координатной четверти. Используем ту же формулу приведения $\tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha)$.

Представим $\frac{3\pi}{4}$ как $\pi - \frac{\pi}{4}$:

$\tg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Мы уже знаем из пункта а), что $\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Следовательно, $y = -1$.

Ответ: $-1$.

г) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \pi$, подставим значение $x$:

$y = \tg(\pi)$

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\tg(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)}$

Значения синуса и косинуса для угла $\pi$ известны:

$\sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi) = -1$

Подставив эти значения, получаем:

$y = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $0$.