Номер 14.9, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.9, страница 42.

14.9 a) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x;$

б) $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}.$

а) Чтобы исследовать функцию $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$ на четность, нужно проверить, выполняется ли для нее одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция). Важным условием является симметричность области определения функции относительно нуля.

Сначала найдем область определения $D(f)$. Выражение $\sin x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Выражение $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определено при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, область определения функции $D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит.

Теперь найдем $f(-x)$:$f(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.

Воспользуемся свойствами нечетности синуса и котангенса: $\sin(-x) = -\sin x$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.Подставим эти соотношения в выражение для $f(-x)$:$f(-x) = -\sin x - \operatorname{ctg} x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x)$.

Сравнивая полученный результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, данная функция является нечетной.

Ответ: нечетная функция.

---

б) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$.

Найдем область определения $D(f)$. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в ноль или где не определен котангенс.Знаменатель равен нулю при $x^2 - 4 = 0$, то есть при $x = \pm 2$.Котангенс не определен при $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Таким образом, область определения $D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq \pm 2, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля.

Теперь найдем значение $f(-x)$:$f(-x) = \frac{(-x)^4 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 - 4}$.

Упростим это выражение, используя следующие свойства:$(-x)^4 = x^4$ (степень с четным показателем является четной функцией).$(-x)^2 = x^2$ (аналогично).$\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ (котангенс — нечетная функция).Подставляя, получаем:$f(-x) = \frac{x^4 (-\operatorname{ctg} x)}{x^2 - 4} = - \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$.

Сравнив результат с исходной функцией, мы видим, что $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.

Ответ: нечетная функция.