Номер 14.16, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.16, страница 43.

14.16 Докажите, что число $\pi$ является периодом функции:

a) $y = \mathrm{tg} x + \sin 2x - \mathrm{tg} 3x - \cos 4x;$

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \mathrm{ctg} x - 2 \mathrm{tg} 2x.$

а) Чтобы доказать, что число $T=\pi$ является периодом функции $y = f(x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \operatorname{tg}x + \sin(2x) - \operatorname{tg}(3x) - \cos(4x)$. Подставим $x+\pi$ вместо $x$:

$f(x+\pi) = \operatorname{tg}(x+\pi) + \sin(2(x+\pi)) - \operatorname{tg}(3(x+\pi)) - \cos(4(x+\pi))$

Упростим каждое слагаемое, используя свойства периодичности тригонометрических функций:

1. Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg}x$.

2. Функция синус имеет период $2\pi$. Поэтому $\sin(2(x+\pi)) = \sin(2x+2\pi) = \sin(2x)$.

3. Для функции тангенс выполняется равенство $\operatorname{tg}(z+k\pi) = \operatorname{tg}z$ для любого целого $k$. В нашем случае $k=3$, поэтому $\operatorname{tg}(3(x+\pi)) = \operatorname{tg}(3x+3\pi) = \operatorname{tg}(3x)$.

4. Функция косинус имеет период $2\pi$. Поэтому $\cos(4(x+\pi)) = \cos(4x+4\pi) = \cos(4x)$.

Подставим упрощенные выражения обратно в формулу для $f(x+\pi)$:

$f(x+\pi) = \operatorname{tg}x + \sin(2x) - \operatorname{tg}(3x) - \cos(4x)$

Полученное выражение в точности совпадает с исходной функцией $f(x)$. Таким образом, равенство $f(x+\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: Число $\pi$ является периодом функции $y = \operatorname{tg}x + \sin(2x) - \operatorname{tg}(3x) - \cos(4x)$.

---

б) Рассмотрим функцию $y = g(x) = \sin(3x) + \cos(5x) + \operatorname{ctg}x - 2\operatorname{tg}(2x)$. Чтобы проверить, является ли $\pi$ периодом, найдем значение функции в точке $x+\pi$:

$g(x+\pi) = \sin(3(x+\pi)) + \cos(5(x+\pi)) + \operatorname{ctg}(x+\pi) - 2\operatorname{tg}(2(x+\pi))$

Упростим каждое слагаемое:

1. $\sin(3(x+\pi)) = \sin(3x+3\pi)$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha + k\pi) = (-1)^k \sin(\alpha)$, при $k=3$ получаем: $\sin(3x+3\pi) = (-1)^3 \sin(3x) = -\sin(3x)$.

2. $\cos(5(x+\pi)) = \cos(5x+5\pi)$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + k\pi) = (-1)^k \cos(\alpha)$, при $k=5$ получаем: $\cos(5x+5\pi) = (-1)^5 \cos(5x) = -\cos(5x)$.

3. Функция котангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{ctg}(x+\pi) = \operatorname{ctg}x$.

4. Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(2(x+\pi)) = \operatorname{tg}(2x+2\pi) = \operatorname{tg}(2x)$.

Подставим упрощенные выражения в формулу для $g(x+\pi)$:

$g(x+\pi) = -\sin(3x) - \cos(5x) + \operatorname{ctg}x - 2\operatorname{tg}(2x)$

Сравним полученное выражение с исходной функцией $g(x) = \sin(3x) + \cos(5x) + \operatorname{ctg}x - 2\operatorname{tg}(2x)$. Очевидно, что $g(x+\pi) \neq g(x)$, так как знаки при первых двух слагаемых изменились на противоположные. Например, если $x=\pi/6$, то $g(\pi/6) = \sin(\pi/2) + \cos(5\pi/6) + \operatorname{ctg}(\pi/6) - 2\operatorname{tg}(\pi/3) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$, а $g(\pi/6+\pi) = -\sin(\pi/2) - \cos(5\pi/6) + \operatorname{ctg}(\pi/6) - 2\operatorname{tg}(\pi/3) = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Равенство $g(x+\pi)=g(x)$ не выполняется. Следовательно, число $\pi$ не является периодом данной функции. Утверждение в условии задачи неверно, вероятно, в нём содержится опечатка. Для того чтобы $\pi$ было периодом, коэффициенты при $x$ у синуса и косинуса должны быть четными целыми числами.