Номер 14.18, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.18, страница 43.

14.18 a) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1;$

б) $y = \text{tg} \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2};$

В) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 1;$

Г) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.$

а) $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{6}) + 1$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{tg}(x)$. График получается путем выполнения двух параллельных переносов:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц (поскольку аргумент $x$ заменен на $x + \frac{\pi}{6}$).
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вверх на 1 единицу.

Найдем основные свойства функции:

Область определения: Аргумент тангенса не может быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Область значений: Область значений функции тангенс — все действительные числа. Вертикальный сдвиг не изменяет ее: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: Так как коэффициент при $x$ равен 1, основной период функции не изменяется: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: Это прямые, соответствующие значениям $x$, исключенным из области определения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{6}$ и вверх на 1. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \text{tg}(x - \frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{2}$

График данной функции получается из графика $y = \text{tg}(x)$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вверх на $\frac{1}{2}$ единицы.

Найдем основные свойства функции:

Область определения:
$x - \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + \pi n$
$x \neq \frac{3\pi + 4\pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом вправо на $\frac{2\pi}{3}$ и вверх на $\frac{1}{2}$. Область определения: $x \neq \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{2}) + 1$

График данной функции получается из графика $y = \text{tg}(x)$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на $\frac{\pi}{2}$ единиц.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вверх на 1 единицу.

Найдем основные свойства функции:

Область определения:
$x - \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \pi + \pi n$
$x \neq \pi(n+1), n \in \mathbb{Z}$. Это можно записать как $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Примечание: Используя формулу приведения $\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\alpha)$, функцию можно записать как $y = -\text{ctg}(x) + 1$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{2}$ и вверх на 1. Область определения: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

График данной функции получается из графика $y = \text{tg}(x)$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вниз на 2 единицы.

Найдем основные свойства функции:

Область определения:
$x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$x \neq \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$ и вниз на 2. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.