Номер 14.23, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.23, страница 43.

14.23 a) $y = \text{tg}(\cos x) \cdot \text{ctg}(\cos x);$

б) $y = -2 \text{tg}(\sin x) \cdot \text{ctg}(\sin x).$

а) $y = \tg(\cos x) \cdot \ctg(\cos x)$

Данная функция представляет собой произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента, в данном случае $\cos x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$. Применив его к нашему выражению, где $\alpha = \cos x$, мы можем упростить функцию до $y=1$.

Однако это тождество справедливо только тогда, когда и $\tg(\cos x)$, и $\ctg(\cos x)$ определены. Это накладывает ограничения на область определения функции (ОДЗ).

1. Функция $\tg(\alpha)$ определена, если ее аргумент $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $\alpha = \cos x$, поэтому должно выполняться условие: $\cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Поскольку область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$, а $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$ для любого целого $k$, то условие $\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не выполняется. Следовательно, это ограничение не влияет на область определения.

2. Функция $\ctg(\alpha)$ определена, если ее аргумент $\alpha \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $\alpha = \cos x$, поэтому должно выполняться условие: $\cos x \neq \pi n$. Рассмотрим это условие, учитывая, что $-1 \le \cos x \le 1$.
Если $n = 0$, то $\cos x \neq 0$. Это возможно, и это ограничение необходимо учесть.
Если $n \neq 0$ (например, $n = \pm 1, \pm 2, ...$), то $|\pi n| \ge \pi \approx 3.14 > 1$. Значение $\cos x$ никогда не может быть равно $\pi n$ для ненулевых $n$.

Таким образом, единственным ограничением на область определения является $\cos x \neq 0$. Это уравнение решается следующим образом: $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Значит, область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

В итоге, функция представляет собой константу $y=1$ на всей своей области определения.

Ответ: $y=1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -2\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x)$

Аналогично предыдущему пункту, мы имеем произведение тангенса и котангенса одного аргумента $\sin x$.

Используя тождество $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$, где $\alpha = \sin x$, мы можем упростить выражение: $y = -2 \cdot (\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x)) = -2 \cdot 1 = -2$.

Это упрощение возможно только в области определения исходной функции. Найдем ОДЗ.

1. Функция $\tg(\sin x)$ определена, если $\sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$. Поскольку $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$ для любого целого $k$, условие $\sin x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не выполняется.

2. Функция $\ctg(\sin x)$ определена, если $\sin x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим это условие, учитывая, что $-1 \le \sin x \le 1$.
Если $n = 0$, то $\sin x \neq 0$. Это ограничение необходимо учесть.
Если $n \neq 0$, то $|\pi n| \ge \pi \approx 3.14 > 1$. Значение $\sin x$ никогда не может быть равно $\pi n$ для ненулевых $n$.

Следовательно, единственное ограничение на область определения — это $\sin x \neq 0$. Решаем уравнение $\sin x = 0$, получаем $x = \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения функции: $x \neq \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

Функция является константой $y=-2$ на всей своей области определения.

Ответ: $y=-2$ при $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.