Номер 15.4, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.4, страница 44.

15.4 a) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$;

б) $\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $\operatorname{ctg}(\arccos 0)$;

г) $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

а) Для вычисления $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ сначала найдем значение внутреннего выражения.

По определению, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, исходное выражение сводится к вычислению $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Используя формулу приведения, получаем: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Для вычисления $\tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ сначала найдем значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

По определению, $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим тангенс этого угла: $\tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Для вычисления $\ctg(\arccos 0)$ найдем значение $\arccos(0)$.

По определению, $\arccos(0)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим котангенс этого угла: $\ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: $0$

г) Для вычисления $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ найдем значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

По определению, $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим синус этого угла: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$