Номер 15.9, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.9, страница 45.

15.9 Найдите область допустимых значений выражения:

а) $arccos x$;

б) $arccos 2x$;

в) $arccos (x - 1)$;

г) $arccos (3 - 2x)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения вида $\arccos(f(x))$ определяется условием, что аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, для нахождения ОДЗ необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le f(x) \le 1$

Применим это правило к каждому из заданных выражений.

а) $\arccos x$

Аргументом функции является переменная $x$. Согласно определению области допустимых значений арккосинуса, должно выполняться неравенство:

$-1 \le x \le 1$

Это неравенство уже определяет область допустимых значений для $x$. В виде промежутка это записывается как $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

б) $\arccos 2x$

Аргументом функции является выражение $2x$. Запишем соответствующее неравенство:

$-1 \le 2x \le 1$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Область допустимых значений в виде промежутка: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

в) $\arccos(x - 1)$

Аргументом функции является выражение $x - 1$. Запишем неравенство для нахождения ОДЗ:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Чтобы выразить $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Область допустимых значений в виде промежутка: $x \in [0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

г) $\arccos(3 - 2x)$

Аргументом функции является выражение $3 - 2x$. Составим неравенство:

$-1 \le 3 - 2x \le 1$

Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-1 - 3 \le -2x \le 1 - 3$

$-4 \le -2x \le -2$

Теперь разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-4}{-2} \ge x \ge \frac{-2}{-2}$

$2 \ge x \ge 1$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего к большему:

$1 \le x \le 2$

Область допустимых значений в виде промежутка: $x \in [1, 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.