Номер 15.14, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.14, страница 46.

Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

15.14 a) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in [0; 2\pi] $

б) $ \cos x = -\frac{1}{2}, x \in [2\pi; 4\pi] $

в) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in [-\pi; 3\pi] $

г) $ \cos x = -1, x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] $

а) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение данного уравнения имеет вид $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Это дает две серии корней:
1) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$, что больше $2\pi$.
Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, что меньше $0$.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Серии корней:
1) $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Выберем корни из промежутка $[2\pi; 4\pi]$.
Для первой серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Так как $2\pi = \frac{6\pi}{3}$ и $4\pi = \frac{12\pi}{3}$, корень $\frac{8\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[2\pi; 4\pi]$.
Для второй серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$. Этот корень также принадлежит промежутку $[2\pi; 4\pi]$.
Другие целые значения $n$ дают корни за пределами указанного промежутка.
Ответ: $\frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Серии корней:
1) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Выберем корни из промежутка $[-\pi; 3\pi]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$ (так как $3\pi = \frac{12\pi}{4}$).
Для второй серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

г) Решим уравнение $cos x = -1$.
Это частный случай, общее решение которого: $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни из промежутка $\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.
При $n=-1$, $x = \pi - 2\pi = -\pi$. Так как $-\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi$, то $-\pi$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.
При $n=0$, $x = \pi$. Этот корень также принадлежит заданному промежутку.
При $n=1$, $x = \pi + 2\pi = 3\pi$, что больше $2\pi$.
Ответ: $-\pi, \pi$.